{"id":3436,"date":"2012-10-01T06:00:41","date_gmt":"2012-10-01T04:00:41","guid":{"rendered":"http:\/\/sciencetonnante.wordpress.com\/?p=3436"},"modified":"2012-10-01T06:00:41","modified_gmt":"2012-10-01T04:00:41","slug":"la-localisation-danderson","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/scienceetonnante.com\/blog\/2012\/10\/01\/la-localisation-danderson\/","title":{"rendered":"La localisation d’Anderson"},"content":{"rendered":"

\"\"<\/a>Il y a quelques mois, au cours d’un d\u00eener consacr\u00e9 \u00e0 Votons pour la Science<\/a>, je discutais avec mes comparses blogueurs Xochipilli<\/a> et Jean-Michel Courty<\/a>. La conversation portait notamment sur le buzz associ\u00e9 \u00e0 l’in\u00e9vitable boson de Higgs.<\/p>\n

Jean-Michel a alors fait remarquer qu’\u00e0 son avis, il existait d’autres r\u00e9sultats tr\u00e8s importants, et dont injustement on ne parlait pas assez.<\/p>\n

\u00ab\u00a0– Ah bon\u00a0? Quoi\u00a0?<\/em><\/p>\n

– La localisation d’Anderson, par exemple\u00a0\u00bb.<\/em><\/p>\n

Je dois avouer qu’\u00e0 ce moment l\u00e0, je n’avais pas une id\u00e9e tr\u00e8s claire de ce qu’\u00e9tait la localisation d’Anderson, m\u00eame si \u00e7a me rappelait vaguement des conversations de machine \u00e0 caf\u00e9 avec certains de mes coll\u00e8gues de labo.<\/p>\n

Pour r\u00e9parer l’injustice soulev\u00e9e par Jean-Michel, j’ai d\u00e9cid\u00e9 de relever le d\u00e9fi et de vous parler aujourd’hui de la localisation d’Anderson, qui a valu \u00e0 son auteur le prix Nobel en 1977. Pour vous mettre l’eau \u00e0 la bouche, vous allez d\u00e9couvrir un effet que l’on peut rapprocher de la supra-conductivit\u00e9, mais \u00e0 l’envers\u00a0! Une sorte de supra-r\u00e9sistivit\u00e9<\/strong>, donc…<\/p>\n

Deux modes de transport<\/h3>\n

Pour aborder le ph\u00e9nom\u00e8ne de localisation d’Anderson, il nous faut d’abord comprendre comment se propage le courant \u00e9lectrique. En physique, quand un ph\u00e9nom\u00e8ne se propage, il peut g\u00e9n\u00e9ralement le faire de deux mani\u00e8res assez diff\u00e9rentes.<\/p>\n

La premi\u00e8re nous est bien connue, c’est un d\u00e9placement en ligne droite, avec une vitesse V bien d\u00e9finie. On appelle cela le transport balistique,<\/strong> par analogie avec un projectile. Dans le transport balistique, le temps de parcours T et la distance parcourue D sont reli\u00e9s par la simple relation D = V*T, ou encore T = D\/V, c’est-\u00e0-dire que le temps de parcours est proportionnel \u00e0 la distance<\/strong>. Tout cela est tr\u00e8s simple, mais malheureusement \u00e7a n’est pas comme \u00e7a que fonctionne le courant \u00e9lectrique !<\/p>\n

\"\"<\/a>Il existe en effet un autre mode de transport appel\u00e9 la diffusion<\/strong>. Prenez par exemple une goutte d’encre et d\u00e9posez l\u00e0 dans une bassine d’eau\u00a0: l’encre progresse dans l’eau, mais elle semble le faire de plus en plus lentement : elle diffuse. La diffusion se produit quand l’objet qui se d\u00e9place ne le fait pas en ligne droite, mais subit de nombreuses collisions<\/strong> qui modifient sa trajectoire. Le sch\u00e9ma ci-contre compare le transport balistique et le transport diffusif.<\/p>\n

Une grosse diff\u00e9rence entre la diffusion et le cas balistique, c’est que le temps de parcours n’est plus proportionnel \u00e0 la distance, mais \u00e0 son carr\u00e9<\/strong>\u00a0! On note g\u00e9n\u00e9ralement \\(T = D^2\/S\\), S est appel\u00e9 le coefficient de diffusion<\/strong>. Plus celui-ci est \u00e9lev\u00e9, plus le temps de parcours est faible.<\/p>\n

Un exemple bien connu de transport par diffusion, c’est la chaleur. Et comme preuve que le temps de diffusion est proportionnel au carr\u00e9 de la distance, on peut facilement v\u00e9rifier que si vous doublez l’\u00e9paisseur d’un mur, le temps que met la chaleur \u00e0 le traverser est multipli\u00e9 par 4.<\/p>\n

Le courant \u00e9lectrique : un ph\u00e9nom\u00e8ne diffusif<\/h3>\n

Vous le savez peut \u00eatre d\u00e9j\u00e0, il existe beaucoup d’analogies entre la chaleur et l’\u00e9lectricit\u00e9, et le transport du courant \u00e9lectrique est lui aussi un ph\u00e9nom\u00e8ne diffusif. Le coefficient de diffusion du courant dans un mat\u00e9riau est proportionnel \u00e0 sa conductivit\u00e9 \u00e9lectrique<\/strong>.<\/p>\n

Un des premiers mod\u00e8les pour comprendre le courant \u00e9lectrique a \u00e9t\u00e9 propos\u00e9 en 1900 par Paul Drude. Il a suppos\u00e9 (correctement) que le courant \u00e9lectrique \u00e9tait d\u00fb au d\u00e9placement des \u00e9lectrons, et que le choc de ces derniers contre les atomes du m\u00e9tal provoquait un comportement de diffusion. Il a alors propos\u00e9 que le coefficient de diffusion (donc la conductivit\u00e9 \u00e9lectrique) soit li\u00e9 \u00e0 une quantit\u00e9 appel\u00e9e libre parcours moyen<\/strong>, et qui refl\u00e8te la distance moyenne que parcourt un \u00e9lectron entre deux chocs.<\/p>\n

\"\"<\/a>Le mod\u00e8le de Drude a depuis \u00e9t\u00e9 remplac\u00e9, mais il fonctionne assez bien pour beaucoup de mat\u00e9riaux. Un seul d\u00e9tail est \u00e0 corriger : les \u00e9lectrons subissent effectivement des chocs dans le m\u00e9tal, mais pas \u00e0 cause des atomes, uniquement \u00e0 cause des d\u00e9fauts : c’est-\u00e0-dire les atomes mal plac\u00e9s, manquants, ou les impuret\u00e9s dans le m\u00e9tal<\/strong>. C’est ce que repr\u00e9sente le sch\u00e9ma ci-contre.<\/p>\n

Un \u00e9lectron qui se prom\u00e8ne dans un m\u00e9tal ne subit donc pas une collision \u00e0 chaque atome qu’il croise, uniquement lorsqu’il s’agit d’une impuret\u00e9. Ainsi typiquement dans un m\u00e9tal classique, un \u00e9lectron parcours une centaines de nanom\u00e8tres entre deux collisions<\/strong>. C’est son libre parcours moyen.<\/p>\n

La proph\u00e9tie d’Anderson<\/h3>\n

Bien des ann\u00e9es plus tard, en 1958, notre connaissance de la conduction \u00e9lectrique s’\u00e9tait beaucoup am\u00e9lior\u00e9e, notamment gr\u00e2ce \u00e0 l’av\u00e8nement de la m\u00e9canique quantique. Paul Anderson, alors chercheur aux Bell Labs, propose un petit calcul \u00e9tonnant, pass\u00e9 assez inaper\u00e7u lors de sa publication.<\/p>\n

En principe, plus un m\u00e9tal contient d’impuret\u00e9s, plus le libre parcours moyen diminue, plus la conductivit\u00e9 baisse. On s’attend donc une diminution progressive de la conductivit\u00e9 quand la quantit\u00e9 d’impuret\u00e9 augmente. Mais Anderson sugg\u00e8re que si on augmente trop le nombre d’impuret\u00e9s, il se produit une transition assez violente et un m\u00e9tal peut devenir soudainement tr\u00e8s isolant\u00a0<\/strong>!<\/p>\n

Pour comprendre l’origine de l’argument d’Anderson, il faut vous souvenir d’un des ingr\u00e9dients cl\u00e9s de la m\u00e9canique quantique\u00a0: la dualit\u00e9 onde\/corpuscule<\/strong>. Ce principe nous dit que la mati\u00e8re est comme la lumi\u00e8re, elle se comporte tant\u00f4t comme une particule, tant\u00f4t comme une onde. Les \u00e9lectrons n’\u00e9chappent pas \u00e0 cette loi, et peuvent eux aussi se repr\u00e9senter par une onde. On peut m\u00eame calculer la longueur d’onde associ\u00e9e aux \u00e9lectrons<\/strong> d’un m\u00e9tal, gr\u00e2ce \u00e0 la relation dite de De Broglie<\/strong>\u00a0: je vous passe le d\u00e9tail mais on trouve une valeur de l’ordre d’un nanom\u00e8tre.<\/p>\n

\"\"<\/a>Si on voit un \u00e9lectron comme une onde, son parcours dans un m\u00e9tal ressemble donc \u00e0 celui du sch\u00e9ma ci-contre : l’onde se propage en ligne droite, et elle change de direction quand elle rencontre une impuret\u00e9.<\/p>\n

Si vous \u00eates observateurs, vous remarquerez que mon dessin n’est pas trop \u00e0 l’\u00e9chelle. Je vous ai dit que dans un m\u00e9tal normal, le libre parcours moyen \u00e9tait d’une centaine de nanom\u00e8tres, et la longueur d’onde d’environ un nanom\u00e8tre. Sur mon dessin, le libre parcours moyen n’est que de 3 ou 4 fois la longueur d’onde. Mon sch\u00e9ma, correspondrait donc \u00e0 un cas o\u00f9 il y a vraiment beaucoup d’impuret\u00e9s ou de d\u00e9fauts.<\/p>\n

Maintenant imaginez qu’on augmente encore le nombre de ces impuret\u00e9s ou de ces d\u00e9fauts, on peut se retrouver dans une situation o\u00f9 le libre parcours moyen de l’\u00e9lectron devient inf\u00e9rieur \u00e0 la longueur d’onde<\/strong>\u00a0: apr\u00e8s chaque collision l’onde n’a m\u00eame plus le temps de se d\u00e9velopper qu’elle rencontre une nouvelle impuret\u00e9 qui la diffuse\u00a0!<\/p>\n

Nous voici alors dans ce qui s’appelle la localisation d’Anderson\u00a0: les ondes associ\u00e9s aux \u00e9lectrons sont tellement perturb\u00e9es par les impuret\u00e9s que le transport du courant par diffusion se trouve totalement inhib\u00e9, les ondes sont confin\u00e9es<\/strong> (on parle donc de localisation) et la conductivit\u00e9 \u00e9lectrique tombe soudainement \u00e0 z\u00e9ro\u00a0! C’est ce qu’on appelle une\u00a0 \u00ab\u00a0transition m\u00e9tal\/isolant induite par le d\u00e9sordre<\/strong>\u00a0\u00bb.<\/p>\n

Des preuves exp\u00e9rimentales<\/h3>\n

Le calcul d’Anderson, raffin\u00e9 ensuite par lui et d’autres physiciens, est \u00e9videmment une th\u00e9orie qui demande des confirmations exp\u00e9rimentales. Et \u00e7a n’est pas si facile que \u00e7a, car l’annulation de la conductivit\u00e9 pr\u00e9vue par Anderson se produit \u00e0 une temp\u00e9rature nulle<\/strong>, c’est \u00e0 dire au z\u00e9ro absolu (-273.15\u00b0C). Si on est \u00e0 temp\u00e9rature non-nulle, le m\u00e9tal peut retrouver un peu de conductivit\u00e9 thermique car les \u00e9lectrons sont agit\u00e9s par la temp\u00e9rature, et peuvent s’\u00e9chapper du pi\u00e8ge de la localisation.<\/p>\n

\"\"<\/a>Pour mettre en \u00e9vidence l’effet, on utilise un m\u00e9tal (du silicium par exemple) dans lequel on introduit artificiellement des impuret\u00e9s (sous la forme d’atomes de phosphore qui prennent la place de certains atomes de silicium).<\/p>\n

Si on mesure la conductivit\u00e9 \u00e9lectrique en fonction de la temp\u00e9rature pour diff\u00e9rents niveaux d’impuret\u00e9s, on obtient des courbes comme celles sch\u00e9matis\u00e9es ci-contre.<\/p>\n

On observe donc qu’en dessous d’un certain seuil critique d’impuret\u00e9s, la conductivit\u00e9 \u00e0 temp\u00e9rature proche de z\u00e9ro augmente (on a un m\u00e9tal), alors qu’au dessus de ce seuil elle diminue (on a un isolant). On a bien une transition m\u00e9tal\/isolant en fonction de la quantit\u00e9 d’impuret\u00e9s !<\/strong><\/p>\n

Alors la localisation d’Anderson, aussi sexy que la supraconductivit\u00e9<\/a> ou le boson de Higgs <\/a>?<\/p>\n

Pour aller plus loin\u00a0: la localisation d’Anderson, une v\u00e9ritable industrie<\/em><\/h3>\n

Les recherches sur la localisation d’Anderson occupent pas mal de chercheurs depuis 50 ans : des th\u00e9oriciens, des exp\u00e9rimentateurs, et beaucoup d’exp\u00e9rimentateurs \u00ab\u00a0num\u00e9riques\u00a0\u00bb qui r\u00e9alisent des simulations. Le terme d'\u00a0\u00bbindustrie\u00a0\u00bb n’est pas de moi, il vient de la communaut\u00e9 des sp\u00e9cialistes du sujet <\/a>! Mais j’ai pu constater apr\u00e8s quelques recherches biblio qu’en moyenne, il sort un papier par jour ayant trait de pr\u00e8s ou de loin \u00e0 la localisation d’Anderson. Et ce depuis au moins 20 ans. C’est moins que la supraconductivit\u00e9, mais c’est quand m\u00eame pas mal ! D’ailleurs il y a beaucoup d’analogies entre les deux sujets : les deux concernent des transitions de phase li\u00e9s \u00e0 des effets quantiques dans la mati\u00e8re condens\u00e9e. <\/em><\/p>\n

Pour comprendre ce sur quoi th\u00e9oriciens, num\u00e9riciens et exp\u00e9rimentateurs s’arrachent les cheveux, il faut revenir sur cette id\u00e9e de transition de phase. On peut montrer que la transition m\u00e9tal\/isolant induite par le d\u00e9sordre est du second ordre (c’est-\u00e0-dire \u00ab\u00a0continue\u00a0\u00bb), et qu’elle ob\u00e9it \u00e0 une loi du genre<\/em><\/p>\n

\\(\\sigma(T=0) \\propto (n-n_C)^{\\mu}\\),<\/p>\n

o\u00f9 \\(\\sigma\\) est la conductivit\u00e9 thermique, \\(n_C\\) d\u00e9signe la densit\u00e9 critique d’impuret\u00e9s, et \\(\\mu\\) est l’exposant critique associ\u00e9 \u00e0 la transition. Toute la question est : combien vaut cet exposant ? Les simulations actuelles semblent pointer vers une valeur l\u00e9g\u00e8rement sup\u00e9rieure \u00e0 1.5, mais dans les exp\u00e9riences on est souvent en dessous de 1.<\/em><\/p>\n

Il faut dire qu’exp\u00e9rimentalement, il n’est pas facile d’aller chercher cet exposant ! Il faut en effet extrapoler des conductivit\u00e9s \u00e0 temp\u00e9rature nulle, et s’assurer qu’on s’affranchit bien de tous les effets perturbateurs.<\/em><\/p>\n

C’est pourquoi depuis pas mal d’ann\u00e9es, des physiciens ont cherch\u00e9 \u00e0 observer la localisation d’Anderson dans d’autres syst\u00e8mes que les \u00e9lectrons d’un m\u00e9tal. En effet le ph\u00e9nom\u00e8ne est tout \u00e0 fait g\u00e9n\u00e9ral, et l’argument d’Anderson vaut pour n’importe quelle situation o\u00f9 une onde se propage dans un milieu tr\u00e8s d\u00e9sordonn\u00e9 : il peut s’agir d’une onde lumineuse, de micro-ondes ou m\u00eame d’ondes acoustiques, comme l’a d\u00e9montr\u00e9 une \u00e9quipe<\/a> issue notamment de l’Universit\u00e9 Joseph Fourier de Grenoble. Au moins aussi fort, une autre \u00e9quipe fran\u00e7aise conduite par Alain Aspect a d\u00e9montr\u00e9 la m\u00eame ann\u00e9e l’existence de la localisation d’Anderson dans les ondes de mati\u00e8res<\/a>.<\/em><\/p>\n

Parmi les autres th\u00e8mes de recherche, on peut citer le cas des syst\u00e8mes de dimension 1 et 2. En effet Anderson a montr\u00e9 que dans les cristaux 3D, les impuret\u00e9s d\u00e9truisent la diffusion au del\u00e0 d’une certaine concentration, mais en 1D ou 2D, son calcul montre que la localisation est in\u00e9vitable : la moindre petite impuret\u00e9 d\u00e9truit la conduction \u00e9lectrique. Et pourtant il semble que dans le graph\u00e8ne et d’autres syst\u00e8mes bidimensionnels, la conduction existe bien. Pour totalement r\u00e9soudre ce myst\u00e8re, il faut prendre en compte un aspect qu’avait n\u00e9glig\u00e9 Anderson, les interactions entre les diff\u00e9rents \u00e9lectrons du mat\u00e9riau. Ce petit d\u00e9tail est justement le m\u00eame que celui qui rend la supraconductivit\u00e9 si difficile \u00e0 percer. La recherche en physique de la mati\u00e8re condens\u00e9e \u00e0 encore de beaux jours devant elle !<\/em><\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

Il y a quelques mois, au cours d’un d\u00eener consacr\u00e9 \u00e0 Votons pour la Science, je discutais avec mes comparses blogueurs Xochipilli et Jean-Michel Courty. La conversation portait notamment sur le buzz associ\u00e9 \u00e0 l’in\u00e9vitable boson de Higgs. Jean-Michel a alors fait remarquer qu’\u00e0 son avis, il existait d’autres r\u00e9sultats tr\u00e8s importants, et dont injustement<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"jetpack_post_was_ever_published":false,"_jetpack_newsletter_access":"","_jetpack_dont_email_post_to_subs":false,"_jetpack_newsletter_tier_id":0,"_jetpack_memberships_contains_paywalled_content":false,"_jetpack_memberships_contains_paid_content":false,"footnotes":""},"categories":[6],"tags":[49,42],"class_list":{"0":"post-3436","1":"post","2":"type-post","3":"status-publish","4":"format-standard","6":"category-physique","7":"tag-electricite","8":"tag-mecanique-quantique"},"jetpack_featured_media_url":"","jetpack_sharing_enabled":true,"post_mailing_queue_ids":[],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/scienceetonnante.com\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/3436","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/scienceetonnante.com\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/scienceetonnante.com\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/scienceetonnante.com\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/scienceetonnante.com\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=3436"}],"version-history":[{"count":0,"href":"https:\/\/scienceetonnante.com\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/3436\/revisions"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/scienceetonnante.com\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=3436"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/scienceetonnante.com\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=3436"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/scienceetonnante.com\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=3436"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}