{"id":3264,"date":"2012-07-16T00:01:21","date_gmt":"2012-07-15T22:01:21","guid":{"rendered":"http:\/\/sciencetonnante.wordpress.com\/?p=3264"},"modified":"2012-07-16T00:01:21","modified_gmt":"2012-07-15T22:01:21","slug":"les-integrales-de-borwein","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/scienceetonnante.com\/blog\/2012\/07\/16\/les-integrales-de-borwein\/","title":{"rendered":"Les int\u00e9grales de Borwein"},"content":{"rendered":"

Les int\u00e9grales de Borwein sont une petite curiosit\u00e9 math\u00e9matique, mais qui sous des dehors inoffensifs peuvent nous faire r\u00e9fl\u00e9chir l’id\u00e9e de d\u00e9marche scientifique<\/strong>.<\/p>\n

Voici le probl\u00e8me : on s’int\u00e9resse aux int\u00e9grales de la forme suivante, d\u00e9finies pour chaque nombre entier positif n:<\/p>\n

\"\"<\/a><\/p>\n

A priori rien de tr\u00e8s barbare dans cette formule, rien de passionnant non plus. L\u00e0 o\u00f9 \u00e7a devient intriguant, c’est quand on commence \u00e0 calculer explicitement la valeur de l’int\u00e9grale pour diff\u00e9rentes valeurs de n.<\/p>\n

Commen\u00e7ons avec n=0<\/strong>, on trouve<\/p>\n

\\(I_0 = \\int_0^{+\\infty} \\frac{\\sin x}{x} dx = \\frac{\\pi}{2}\\)<\/p>\n

Prenons maintenant n=1<\/strong>, \u00e7a donne<\/p>\n

\\(I_1 = \\int_0^{+\\infty} \\frac{\\sin x}{x} \\frac{\\sin (x\/3)}{(x\/3)} dx = \\frac{\\pi}{2}\\)<\/p>\n

Puis n=2<\/strong>, on a<\/p>\n

\\(I_2 = \\int_0^{+\\infty} \\frac{\\sin x}{x} \\frac{\\sin (x\/3)}{(x\/3)}\\frac{\\sin (x\/5)}{(x\/5)} dx = \\frac{\\pi}{2}\\)<\/p>\n

et n=3<\/strong>,<\/p>\n

\\(I_3 = \\int_0^{+\\infty} \\frac{\\sin x}{x} \\frac{\\sin (x\/3)}{(x\/3)}\\frac{\\sin (x\/5)}{(x\/5)} \\frac{\\sin (x\/7)}{(x\/7)} dx = \\frac{\\pi}{2}\\)<\/p>\n

et n = 4<\/strong>,<\/p>\n

\\(I_4 = \\int_0^{+\\infty} \\frac{\\sin x}{x} \\frac{\\sin (x\/3)}{(x\/3)}\\frac{\\sin (x\/5)}{(x\/5)} \\frac{\\sin (x\/7)}{(x\/7)}\\frac{\\sin (x\/9)}{(x\/9)} dx = \\frac{\\pi}{2}\\)<\/p>\n

Bref, pas besoin de vous faire un dessin, vous remarquez qu’on trouve toujours \\(\\pi\/2\\).<\/p>\n

A ce stade, un bon physicien va continuer \u00e0 calculer les int\u00e9grales pour n=5, peut-\u00eatre pour n=6, puis il va \u00e9noncer la loi universelle que pour tout entier n, on a \\(I_n = \\pi\/2 \\). Il fera un joli papier, donn\u00e9es exp\u00e9rimentales \u00e0 l’appui, et affichera un degr\u00e9 de confiance de 99.9999%.<\/p>\n

Le bon math\u00e9maticien, lui, va conjecturer que pour tout n \\(I_n = \\pi\/2 \\), et va se lancer dans la recherche d’une d\u00e9monstration du r\u00e9sultat g\u00e9n\u00e9ral.<\/p>\n

Le bon informaticien va commencer \u00e0 \u00e9crire un code lui permettant de calculer num\u00e9riquement les int\u00e9grales, afin de v\u00e9rifier la conjecture jusqu’\u00e0 une valeur d’au moins \\(n=2^{128} -1\\). Suivons donc les tribulations de notre informaticien.<\/p>\n

Il lance donc son calcul pour n=5<\/strong>, il trouve :<\/p>\n

\\(I_5 = 1.57079632679\\)<\/p>\n

c’est-\u00e0-dire \\(\\pi\/2\\) \u00e0 11 d\u00e9cimales pr\u00e8s.<\/p>\n

Il lance ensuite le calcul pour n=6<\/strong>, et il sort :<\/p>\n

\\(I_6= 1.57079632679\\)<\/p>\n

Idem. Tout va bien. Il passe \u00e0 n=7<\/strong>, et l\u00e0 :<\/p>\n

\\(I_7= 1.57079632677\\).<\/p>\n

On dirait que la 11\u00e8me d\u00e9cimale diff\u00e8re !<\/strong> Bon c’est presque \\(\\pi\/2\\) quand m\u00eame. On peut calculer num\u00e9riquement que c’est en fait \\(0.49999999992\\pi\\). L’informaticien conclut que c’est une erreur d’arrondi dans son algorithme. Le physicien lui, aurait conclu \u00e0 une erreur de mesure exp\u00e9rimentale.<\/p>\n

Et pourtant pas de bol, pendant ce temps le math\u00e9maticien s’acharne sur l’int\u00e9grale num\u00e9ro 7, et fini par d\u00e9montrer qu’elle ne vaut pas \\(\\pi\/2\\), mais tr\u00e8s exactement :<\/p>\n

\\(I_7 = \\frac{467807924713440738696537864469}{935615849440640907310521750000} \\pi\\),<\/p>\n

ce qui est presque<\/em> \\(\\pi\/2\\), mais pas tout \u00e0 fait !<\/p>\n

La conjecture est donc fausse !<\/strong> Pour les valeurs de n sup\u00e9rieures \u00e0 7, l’int\u00e9grale se met \u00e0 s’\u00e9loigner de plus en plus de la valeur de \\(\\pi\/2\\) ! \u00c9tonnant, non ?<\/strong><\/p>\n

Morale de l’histoire, il est parfois dangereux de g\u00e9n\u00e9raliser trop vite des premiers r\u00e9sultats<\/strong> num\u00e9riques ou exp\u00e9rimentaux !<\/p>\n

Pour aller plus loin : le papier des fr\u00e8res Borwein et de R. Baillie <\/a>dans lequel cette surprise math\u00e9matique a \u00e9t\u00e9 rapport\u00e9e en 2007.<\/em><\/p>\n

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