{"id":3149,"date":"2012-05-28T00:01:43","date_gmt":"2012-05-27T22:01:43","guid":{"rendered":"http:\/\/sciencetonnante.wordpress.com\/?p=3149"},"modified":"2012-05-28T00:01:43","modified_gmt":"2012-05-27T22:01:43","slug":"le-paradoxe-des-anniversaires","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/scienceetonnante.com\/blog\/2012\/05\/28\/le-paradoxe-des-anniversaires\/","title":{"rendered":"Le paradoxe des anniversaires"},"content":{"rendered":"

\"\"<\/a>Hier soir, vous avez organis\u00e9 une petite f\u00eate et invit\u00e9 une vingtaine d’amis. Alors qu’au milieu de la soir\u00e9e, la conversation tourne (allez savoir pourquoi) sur les signes du zodiaque, deux de vos invit\u00e9s d\u00e9couvrent avec stupeur que leur anniversaire tombe le m\u00eame jour !<\/p>\n

– Incroyable !<\/em><\/p>\n

– Ah oui, quelle co\u00efncidence !<\/em><\/p>\n

– Tu imagines la probabilit\u00e9 que \u00e7a arrive ?<\/em><\/p>\n

Eh bien justement, parlons en de la probabilit\u00e9 !<\/p>\n

Il se trouve qu’elle n’est pas du tout n\u00e9gligeable : dans un groupe d’environ 25 personnes, il y a plus de 50% de chance que deux de ces personnes soient n\u00e9es le m\u00eame jour<\/strong>. Ce r\u00e9sultat est tellement contraire \u00e0 notre intuition qu’on l’appelle le paradoxe des anniversaires<\/strong>.<\/p>\n

Pour les incr\u00e9dules et les lyc\u00e9ens qui r\u00e9visent les probas pour le bac, faisons ensemble le calcul pour un groupe de N personnes. Pour faire cela, on va prendre le probl\u00e8me \u00e0 l’envers, et calculer la probabilit\u00e9 P que toutes les personnes aient leur anniversaire un jour diff\u00e9rent.<\/strong> Et pour calculer cette probabilit\u00e9, on va classiquement proc\u00e9der par d\u00e9nombrement.<\/p>\n

Commen\u00e7ons par l’ensemble de tous les cas possibles : pour la premi\u00e8re personne, 365 dates sont possibles, pour la seconde aussi, de m\u00eame que pour la troisi\u00e8me et toutes les autres. Si on multiplie tout \u00e7a il y a donc \\(365^N\\) cas possibles.<\/p>\n

Maintenant quels sont les cas o\u00f9 les anniversaires sont tous diff\u00e9rents : pour la premi\u00e8re personne il y a 365 choix, pour la seconde il n’en reste que 364, pour la troisi\u00e8me 363, etc. et pour la Ni\u00e8me seulement (365-N+1). Si on multiplie tout \u00e7a on trouve la quantit\u00e9 \\(365! \/ (365-N)!\\) (pour les lyc\u00e9ens, celle qu’on note parfois A(365,N), le nombre d’arrangements).<\/p>\n

On peut donc calculer notre probabilit\u00e9 P qui vaut<\/p>\n

\\(P = \\frac{365!}{365^N (365-N)!}\\)<\/p>\n

J’esp\u00e8re que vous me croyez pour l’application num\u00e9rique, mais avec N=23 personnes on trouve P = 0,49. Mais rappelez vous que P est la probabilit\u00e9 que les anniversaires soient tous diff\u00e9rents. Donc la probabilit\u00e9 qu’il y en ait au moins deux identiques est 1 – P<\/strong>, soit ici 0,51, c’est-\u00e0-dire 51% de chance !<\/p>\n

Et plus il y a de personnes dans le groupe, plus cette probabilit\u00e9 augmente. Dans un groupe de 50 personnes, il y a plus de 95% de chance que deux personnes aient leur anniversaire le m\u00eame jour<\/strong>.<\/p>\n

Pour trouver d’autres paradoxes de ce genre, on peut calculer la probabilit\u00e9 en rempla\u00e7ant 365 par n’importe quel nombre K, et pour n’importe quelle taille de groupe N. Le r\u00e9sultat est repr\u00e9sent\u00e9 dans le graphique ci-dessous, la couleur indiquant la probalit\u00e9 que 2 personnes au moins parmi les N aient une caract\u00e9ristique identique, celle-ci \u00e9tant prise dans un ensemble de taille K.<\/p>\n

\"\"<\/a><\/p>\n

Prenons un exemple pr\u00e9cis : il y a 365 jours dans l’ann\u00e9e et 24 heures par jour, soit au total 8760 tranches horaires pour na\u00eetre dans l’ann\u00e9e. Le graphique montre que d\u00e8s que vous r\u00e9unissez une centaine de personnes, il y a plus de 50% de chance que deux personnes soient n\u00e9es le m\u00eame jour dans la m\u00eame tranche horaire ! Encore un r\u00e9sultat contre-intuitif, qui justifie l’appellation de paradoxe !<\/p>\n

Ah oui, sinon c’est mon anniversaire cette semaine \ud83d\ude42<\/p>\n

Pour aller plus loin…<\/em><\/strong><\/p>\n

Quelques consid\u00e9rations pour les plus curieux. Tout d’abord, ce raisonnement ne vaut que si les N personnes ont leur jour de naissance distribu\u00e9 de fa\u00e7on uniforme dans l’ensemble des possibles. On sait pour les naissances que c’est en gros le cas, mais le raisonnement ne tient pas par exemple avec les pr\u00e9noms.<\/em><\/p>\n

Petite pr\u00e9cision technique : pour r\u00e9aliser le graphique, je n’ai pas fait le calcul direct de la probabilit\u00e9, mais je suis pass\u00e9 par son logarithme. \u00c7a marche tr\u00e8s bien gr\u00e2ce \u00e0 la formule de Stirling qui donne une excellente approximation de N! d\u00e8s que N d\u00e9passe 10, et \u00e7a \u00e9vite de manipuler des chiffres astronomiques du genre la factorielle de 10000.
\n<\/em><\/p>\n

Il existe une application concr\u00e8te de ce paradoxe, o\u00f9 plut\u00f4t de la n\u00e9cessit\u00e9 de l’\u00e9viter. Comme vous le savez peut \u00eatre, il existe des m\u00e9thodes (comme le \u00ab\u00a0MD5 checksum\u00a0\u00bb) qui permettent d’associer un identifiant num\u00e9rique \u00e0 un fichier. Si vous voulez que ce nombre identifie de mani\u00e8re quasi-unique ce fichier parmi tous vos fichiers, vous devez vous assurer que la probabilit\u00e9 que deux fichiers diff\u00e9rents aient le m\u00eame MD5 soit suffisamment faible. Cela fixe la taille K de l’ensemble des identifiants. Si vous avez N fichiers, il faut prendre K suffisamment grand pour que p(N,K) soit suffisamment faible. Comme le montre la carte color\u00e9e, d\u00e8s que N devient grand il faut aller chercher des K astronomiques pour avoir des probas de conflit disons de 1% ! Pour le MD5, il y 2^128 combinaisons, environ 10^38 !
\n<\/em><\/p>\n

A lire aussi :<\/span> Le billet de ElJJ \u00ab\u00a0Une chance sur beaucoup<\/a>\u00ab\u00a0, o\u00f9 l’on apprend entre autre qu’il y a 200 fois plus de chance de gagner au loto que de r\u00e9unir 120 personnes sans qu’aucune n’ait son anniversaire le m\u00eame jour qu’une autre…<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

Hier soir, vous avez organis\u00e9 une petite f\u00eate et invit\u00e9 une vingtaine d’amis. Alors qu’au milieu de la soir\u00e9e, la conversation tourne (allez savoir pourquoi) sur les signes du zodiaque, deux de vos invit\u00e9s d\u00e9couvrent avec stupeur que leur anniversaire tombe le m\u00eame jour ! – Incroyable ! – Ah oui, quelle co\u00efncidence ! –<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"jetpack_post_was_ever_published":false,"_jetpack_newsletter_access":"","_jetpack_dont_email_post_to_subs":false,"_jetpack_newsletter_tier_id":0,"_jetpack_memberships_contains_paywalled_content":false,"_jetpack_memberships_contains_paid_content":false,"footnotes":""},"categories":[4],"tags":[36,48],"class_list":{"0":"post-3149","1":"post","2":"type-post","3":"status-publish","4":"format-standard","6":"category-mathematiques","7":"tag-paradoxe","8":"tag-probabilites"},"jetpack_featured_media_url":"","jetpack_sharing_enabled":true,"post_mailing_queue_ids":[],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/scienceetonnante.com\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/3149","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/scienceetonnante.com\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/scienceetonnante.com\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/scienceetonnante.com\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/scienceetonnante.com\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=3149"}],"version-history":[{"count":0,"href":"https:\/\/scienceetonnante.com\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/3149\/revisions"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/scienceetonnante.com\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=3149"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/scienceetonnante.com\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=3149"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/scienceetonnante.com\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=3149"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}