{"id":3045,"date":"2012-04-23T00:01:16","date_gmt":"2012-04-22T22:01:16","guid":{"rendered":"http:\/\/sciencetonnante.wordpress.com\/?p=3045"},"modified":"2012-04-23T00:01:16","modified_gmt":"2012-04-22T22:01:16","slug":"le-paradoxe-de-condorcet","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/scienceetonnante.com\/blog\/2012\/04\/23\/le-paradoxe-de-condorcet\/","title":{"rendered":"Le paradoxe de Condorcet"},"content":{"rendered":"

\"\"<\/a>Puisque que nous sommes dans une p\u00e9riode intens\u00e9ment \u00e9lectorale, il me faut absolument aujourd\u2019hui vous parler du paradoxe de Condorcet.<\/p>\n

Il s\u2019agit d\u2019une constatation formul\u00e9e au XVIII\u00e8me si\u00e8cle par le philosophe-marquis-math\u00e9maticien Nicolas de Condorcet, lequel a observ\u00e9 que dans certaines situations, quel que soit le mode de scrutin que l\u2019on choisit, il est impossible de d\u00e9signer un vainqueur indiscutable<\/strong>.<\/p>\n

Cela peut para\u00eetre \u00e9tonnant, mais comme nous allons le constater, le paradoxe de Condorcet est loin d\u2019\u00eatre une situation th\u00e9orique. Pour autant vous allez le voir, il ne signifie pas pour autant l\u2019impossibilit\u00e9 totale d\u2019imaginer un scrutin d\u00e9mocratique juste.<\/p>\n

Un exemple de paradoxe<\/h3>\n

Imaginons qu\u2019\u00e0 une \u00e9lection se pr\u00e9sentent 3 candidats : Alain, B\u00e9atrice et Claude. Supposons qu\u2019environ 40% de la population pr\u00e9f\u00e8re Alain \u00e0 B\u00e9atrice, mais pr\u00e9f\u00e8re B\u00e9atrice \u00e0 Claude. Pour ces 40% de la population, on a donc Alain>B\u00e9atrice>Claude<\/em>.<\/p>\n

Maintenant supposons que pour 35% des gens on ait B\u00e9atrice>Claude>Alain<\/em>, et pour les 20% restants Claude>Alain>B\u00e9atrice<\/em>. On va noter \u00e7a comme \u00e7a :<\/p>\n

Groupe 1 (40%) : A > B > C<\/span><\/p>\n

Groupe 2 (35%) : B > C > A<\/span><\/p>\n

Groupe 3 (25%) : C > A > B<\/span><\/p>\n

O\u00f9 est le paradoxe ? Il vient du fait que quel que soit le mode de scrutin utilis\u00e9 pour d\u00e9signer le vainqueur, il y aura toujours une majorit\u00e9 de la population qui sera pr\u00eate \u00e0 le changer pour un autre<\/strong>. Aucun vainqueur n’est indiscutable !<\/p>\n

Imaginons que le vainqueur soit B\u00e9atrice. Alors les groupes 1 et 3 (qui p\u00e8sent 65% de la population \u00e0 eux deux) seraient d\u2019accord pour remplacer B\u00e9atrice par Alain, puisque l\u2019un comme l\u2019autre pr\u00e9f\u00e8rent A \u00e0 B.<\/p>\n

Et vous voyez bien que tous les cas sont analogues : si c’est Alain qui est \u00e9lu, alors les groupes 2 et 3 (60% de la population) pr\u00e9f\u00e8reraient avoir Claude \u00e0 sa place. Bref, c\u2019est inextricable : il ne peut pas exister de vainqueur indiscutable. Et vous voyez bien que \u00e7a ne d\u00e9pend absolument pas du mode de scrutin, juste des pr\u00e9f\u00e9rences respectives des uns et des autres.<\/p>\n

Le vainqueur de Condorcet<\/h3>\n

Heureusement, toutes les situations ne sont pas paradoxales ! Il existe des cas o\u00f9 on \u00e9chappe au paradoxe<\/strong>. Cela se produit quand un des candidats gagnerait en duel contre n\u2019importe lequel des autres<\/strong>. Ainsi si ce dernier est \u00e9lu, il n\u2019existe aucune possibilit\u00e9 pour qu\u2019une majorit\u00e9 de la population veuille le remplacer par un autre. Il existe donc un vainqueur indiscutable, qu’on appelle alors le vainqueur de Condorcet<\/strong>.<\/p>\n

Faisons une petite r\u00e9trospective. A l\u2019\u00e9lection pr\u00e9sidentielle de 2007 en France, il existait clairement un vainqueur de Condorcet : Fran\u00e7ois Bayrou. En effet d\u2019apr\u00e8s les sondages de l\u2019\u00e9poque, celui-ci aurait battu Nicolas Sarkozy au second tour, mais aussi S\u00e9gol\u00e8ne Royal !<\/p>\n

Quand il y a un vainqueur de Condorcet, on devrait s\u2019estimer heureux car cela signifie qu\u2019on \u00e9chappe au paradoxe. Et pourtant vous le voyez sur l\u2019exemple de 2007, un vainqueur de Condorcet ne sera pas forc\u00e9ment le gagnant dans un scrutin classique<\/strong> ! C\u2019est m\u00eame d\u2019ailleurs rarement le cas avec les modes de scrutins typiques en vigueur.<\/p>\n

Un mode de scrutin qui permet \u00e0 coup s\u00fbr d\u2019\u00e9lire le vainqueur de Condorcet (s\u2019il y en a un) est appel\u00e9 m\u00e9thode de Condorcet<\/strong>. En voici une tr\u00e8s simple : organiser tous les duels possibles entre les candidats. Si quelqu\u2019un gagne tous ses duels, il est le vainqueur de Condorcet, et si personne ne gagne tous ses duels, on est dans le cas \u00ab paradoxal \u00bb (et on est mal !).<\/p>\n

\u00c9videmment si on a 15 candidats, il faut organiser une centaine de duels, je doute que les gens acceptent un tel type de scrutin o\u00f9 il faut donner 100 fois son avis, du genre \u00ab Pr\u00e9f\u00e9rez vous Philippe Poutou ou Nathalie Arthaud ? \u00bb<\/em>. Bon une mani\u00e8re rapide de le faire, c\u2019est de demander \u00e0 chacun de classer les 10 candidats par ordre de pr\u00e9f\u00e9rence. Voil\u00e0 qui serait parfaitement jouable.<\/p>\n

Un paradoxe de la d\u00e9mocratie ?<\/h3>\n

Contrairement \u00e0 ce qu\u2019on pourrait penser en premi\u00e8re analyse, le paradoxe de Condorcet n\u2019est pas un paradoxe de la d\u00e9mocratie<\/strong>. Il provient uniquement du fait que l\u2019on analyse les candidats qu\u2019en termes de pr\u00e9f\u00e9rence relative, un par rapport \u00e0 l\u2019autre (\u00abje pr\u00e9f\u00e8re B\u00e9atrice \u00e0 Alain \u00bb).<\/p>\n

D\u2019ailleurs les amateurs de foot connaissent bien le paradoxe de Condorcet, c’est-\u00e0-dire l’absence de vainqueur indiscutable, et savent donc le contourner. Si dans une poule de championnat du monde, la France a battu le Br\u00e9sil, le Br\u00e9sil bat l\u2019Uruguay mais l\u2019Uruguay bat la France. Qui est qualifi\u00e9 ? Si on regarde juste \u00ab qui a battu qui \u00bb, on ne peut pas d\u00e9cider<\/strong>. La solution c’est d’aller au-del\u00e0, et de consid\u00e9rer par exemple les diff\u00e9rences de but.<\/p>\n

De m\u00eame dans un scrutin, on peut faire une analyse plus fine en leur mettant des notes : \u00ab je mets 6\/10 \u00e0 B\u00e9atrice et 5\/10 \u00e0 Alain \u00bb. Et l\u00e0 il suffit de faire la moyenne des notes de chaque candidat, et de d\u00e9signer le vainqueur. On dispose donc en principe d\u2019une m\u00e9thode qui peut d\u00e9signer le candidat le plus appropri\u00e9 pour refl\u00e9ter les opinions des gens.<\/p>\n

C\u2019est d\u2019ailleurs plus ou moins ce qu\u2019essaye de faire la m\u00e9thode dite du \u00ab jugement majoritaire \u00bb<\/strong>, o\u00f9 l\u2019on demande aux \u00e9lecteurs de mettre une note \u00e0 chaque candidat, et le vainqueur d\u00e9sign\u00e9 est celui qui a la note m\u00e9diane (plut\u00f4t que moyenne) la plus haute.<\/p>\n

C\u2019est une m\u00e9thode sympathique, qui \u00e9vite les effets collat\u00e9raux des \u00ab petits candidats \u00bb (et donc l’effet r\u00e9troactif du \u00ab\u00a0vote utile\u00a0\u00bb) puisque chacun n\u2019est jug\u00e9 qu\u2019en fonction de lui-m\u00eame. Malheureusement, je pense que cette m\u00e9thode est encore trop compliqu\u00e9e pour \u00eatre accept\u00e9e facilement comme fondation d’une d\u00e9mocratie.<\/p>\n

Sur la m\u00e9thode du jugement majoritaire : l’initiative de Slate<\/a><\/em><\/p>\n

…et mince ! Je d\u00e9couvre en finissant de mettre les r\u00e9f\u00e9rences que Pour la Science m’a devanc\u00e9 !<\/a>, texte \u00e9crit par les inventeurs du jugement majoritaire.<\/em><\/p>\n

Pour aller plus loin…<\/em><\/h3>\n

On peut passer \u00e0 des formulations math\u00e9matiques plus rigoureuses du paradoxe de Condorcet. Les plus formels d’entre vous auront not\u00e9 que le probl\u00e8me vient de la non-transitivit\u00e9 de la relation de pr\u00e9f\u00e9rence, une fois consid\u00e9r\u00e9e au niveau global. On a A > B > C > A !<\/em><\/p>\n

Au niveau d’un seul individu, il n’y a (en principe) pas de probl\u00e8me de transitivit\u00e9. Si vous pr\u00e9f\u00e9rez A \u00e0 B et B \u00e0 C, alors vous pr\u00e9f\u00e9rez A \u00e0 C et donc A > B > C. La question est donc de prendre un ensemble de relations d’ordre qui sont toutes transitives, et d’en fabriquer une pour l’ensemble de la population, et qui soit elle aussi transitive. Et c’est l\u00e0 que \u00e7a coince.<\/em><\/p>\n

Ainsi dans sa th\u00e8se en 1951, le futur prix \u00ab\u00a0Nobel\u00a0\u00bb d’\u00e9conomie K. Arrow a donn\u00e9 une version formalis\u00e9e du paradoxe de Condorcet, connue sous le nom de th\u00e9or\u00e8me d’impossibilit\u00e9 d’Arrow, et qui affirme que dans certains cas, il n’existe pas de mani\u00e8re indiscutable d’agr\u00e9ger des pr\u00e9f\u00e9rences individuelles en une pr\u00e9f\u00e9rence collective.<\/em><\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

Puisque que nous sommes dans une p\u00e9riode intens\u00e9ment \u00e9lectorale, il me faut absolument aujourd\u2019hui vous parler du paradoxe de Condorcet. Il s\u2019agit d\u2019une constatation formul\u00e9e au XVIII\u00e8me si\u00e8cle par le philosophe-marquis-math\u00e9maticien Nicolas de Condorcet, lequel a observ\u00e9 que dans certaines situations, quel que soit le mode de scrutin que l\u2019on choisit, il est impossible de<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"jetpack_post_was_ever_published":false,"_jetpack_newsletter_access":"","_jetpack_dont_email_post_to_subs":false,"_jetpack_newsletter_tier_id":0,"_jetpack_memberships_contains_paywalled_content":false,"_jetpack_memberships_contains_paid_content":false,"footnotes":""},"categories":[4,11],"tags":[72],"class_list":{"0":"post-3045","1":"post","2":"type-post","3":"status-publish","4":"format-standard","6":"category-mathematiques","7":"category-sciences-sociales","8":"tag-politique"},"jetpack_featured_media_url":"","jetpack_sharing_enabled":true,"post_mailing_queue_ids":[],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/scienceetonnante.com\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/3045","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/scienceetonnante.com\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/scienceetonnante.com\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/scienceetonnante.com\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/scienceetonnante.com\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=3045"}],"version-history":[{"count":0,"href":"https:\/\/scienceetonnante.com\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/3045\/revisions"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/scienceetonnante.com\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=3045"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/scienceetonnante.com\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=3045"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/scienceetonnante.com\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=3045"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}