Comme vous le savez, tout nombre r\u00e9el peut \u00eatre \u00e9crit sous forme d\u00e9cimale, c’est-\u00e0-dire en donnant une suite de chiffres avant et apr\u00e8s la virgule. J’ai d\u00e9j\u00e0 eu l’occasion de parler de cette notation dans mon billet sur les nombres univers<\/a>.<\/p>\n Pour les nombres les plus simples, cette suite est finie. Pour d’autres, la s\u00e9quence des d\u00e9cimales peut \u00eatre infinie mais en se r\u00e9p\u00e9tant de mani\u00e8re p\u00e9riodique, par exemple :<\/p>\n 22\/7 = 3.142857<\/span>142857142857142857…<\/p>\n Et enfin, pour les nombres les plus capricieux, cette suite est infinie et sans p\u00e9riodicit\u00e9 particuli\u00e8re. Aujourd’hui nous allons nous int\u00e9resser \u00e0 une p\u00e9riodicit\u00e9 simple : un seul chiffre qui se r\u00e9p\u00e8te.<\/p>\n Qu’a-t-on comme suite de d\u00e9cimales avec un seul chiffre ? Eh bien c’est facile :<\/p>\n 0.111111111…<\/span><\/p>\n 0.222222222…<\/span><\/p>\n 0.333333333…<\/span><\/p>\n …<\/span><\/p>\n 0.999999999…<\/span><\/p>\n Les premi\u00e8res ne sont pas tr\u00e8s perturbantes. Elles correspondent d’ailleurs \u00e0 des fractions bien connues, par exemple 1\/9=0.111111…\u00a0 ou 1\/3 = 0.333333…<\/p>\n Mais regardez bien la derni\u00e8re. Quelle diff\u00e9rence voyez-vous entre 0.999999… et le nombre 1 ? La r\u00e9ponse est qu’il n’y en a pas. Ces deux nombres sont identiques !<\/strong><\/p>\n Pour d\u00e9montrer l’\u00e9trange \u00e9galit\u00e9 0.999999…=1, on a plusieurs voies, plus ou moins rigoureuses. D\u00e9monstration intuitive, si on admet que 1\/9 = 0.111111… et 1\/3 = 0.333333…, alors on est bien oblig\u00e9 de reconnaitre que<\/p>\n 0.999999… = 9*0.111111… = 9*(1\/9) = 1<\/span><\/p>\n ou encore que<\/p>\n 0.999999… = 3*0.333333… = 3*(1\/3) = 1<\/span><\/p>\n Autre possibilit\u00e9 plus rigoureuse (ma pr\u00e9f\u00e9r\u00e9e), appelons x notre nombre 0.999999…Si on multiplie x par 10, on a l’\u00e9galit\u00e9<\/p>\n 10*x = 9.999999… = 9 + 0.999999… = 9 +x<\/span><\/p>\n Or si 10x = 9+x, on peut r\u00e9soudre l’\u00e9quation et trouver que x=1.<\/p>\n Derni\u00e8re d\u00e9monstration, encore un peu plus formelle, en utilisant la d\u00e9finition pr\u00e9cise de l’\u00e9criture d\u00e9cimale :<\/p>\n \\(x = 9*(1\/10) + 9*(1\/10)^2 + 9*(1\/10)^3 + …\\)<\/p>\n donc sous forme d’une s\u00e9rie infinie on a<\/p>\n \\(x = 9*\\sum_{i=1}^{+\\infty} (1\/10)^i\\)<\/p>\n![\"\"](\"https:\/\/scienceetonnante.com\/blog\/wp-content\/uploads\/2012\/02\/800px-999_perspective.png\" "\\"800px-999_Perspective\\"")
<\/a>(image Wikip\u00e9dia)<\/em><\/p>\nLa notation d\u00e9cimale<\/h3>\n
0.xxxxxx…<\/h3>\n
Quelques d\u00e9monstrations<\/h3>\n