{"id":2523,"date":"2012-01-09T00:01:43","date_gmt":"2012-01-08T23:01:43","guid":{"rendered":"http:\/\/sciencetonnante.wordpress.com\/?p=2523"},"modified":"2012-01-09T00:01:43","modified_gmt":"2012-01-08T23:01:43","slug":"le-lhc-peut-il-fabriquer-un-trou-noir-au-cern","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/scienceetonnante.com\/blog\/2012\/01\/09\/le-lhc-peut-il-fabriquer-un-trou-noir-au-cern\/","title":{"rendered":"Le LHC peut-il fabriquer un trou noir au CERN ?"},"content":{"rendered":"

\"\"<\/a>Ces derniers temps, le nouvel acc\u00e9l\u00e9rateur de particules du CERN a beaucoup fait parler de lui avec la chasse au boson de Higgs.<\/p>\n

Mais souvenez-vous qu’il y a quelques ann\u00e9es, \u00e0 l’\u00e9poque de la construction du grand collisionneur LHC, une pol\u00e9mique existait sur les dangers d’un acc\u00e9l\u00e9rateur de particules si puissant, et notamment sur le risque potentiel d’y cr\u00e9er des trous noirs<\/strong>.<\/p>\n

Dans ce billet, je vous propose de voir en quoi certaines th\u00e9ories comportant des dimensions suppl\u00e9mentaires d’espace-temps<\/strong> conduisent \u00e0 la pr\u00e9diction que des trous noirs pourraient \u00eatre cr\u00e9\u00e9s au CERN.<\/p>\n

Rassurez-vous, au menu d’aujourd’hui, il n\u2019y aura ni th\u00e9orie des cordes sauvage, ni formules math\u00e9matiques obscures, mais juste des estimations d’ordres de grandeur<\/strong> r\u00e9alis\u00e9es \u00e0 l\u2019aide de ce qui devrait \u00eatre le couteau suisse de tout bon physicien\u00a0: l\u2019analyse dimensionnelle<\/strong>\u00a0!<\/p>\n

Quelle \u00e9nergie faut-il pour cr\u00e9er un trou noir\u00a0?<\/h3>\n

Vous savez certainement que plus les acc\u00e9l\u00e9rateurs de particules sont grands, plus ils sont puissants et permettent d’atteindre des \u00e9nergies de collision \u00e9lev\u00e9es. Pour savoir si on risque de cr\u00e9er un trou noir au CERN, il faut se demander si l’\u00e9nergie atteinte par le collisionneur LHC est suffisamment grande pour faire na\u00eetre un trou noir. Mais plus les trous noirs sont lourds, plus il faut d’\u00e9nergie pour les faire appara\u00eetre, donc ce qu’on a besoin de savoir, c’est l’\u00e9nergie qu’il faut pour cr\u00e9er le plus petit trou noir possible.<\/strong><\/p>\n

Le \u00ab\u00a0hic\u00a0\u00bb, c’est que de mani\u00e8re d\u00e9taill\u00e9e, on ne sait pas vraiment ce qu\u2019est le plus petit trou noir possible. Pour cela il faudrait qu’on dispose d’une th\u00e9orie capable de correctement d\u00e9crire les trous noirs microscopiques, or nous n’en avons pas ! Et pourtant nous ne sommes pas d\u00e9munis, car on peut estimer l’ordre de grandeur de cette \u00e9nergie minimale de cr\u00e9ation de trou noir : il suffit d’utiliser l’analyse dimensionnelle<\/strong> !<\/p>\n

L’analyse dimensionnelle (qui manifestement se trouve heureusement au programme de physique du lyc\u00e9e), c’est ce qui dit en gros que dans une formule, il faut que le r\u00e9sultat ait la bonne unit\u00e9 de mesure (on recommande souvent aux \u00e9l\u00e8ves de v\u00e9rifier l’homog\u00e9n\u00e9it\u00e9 de leur formule). Il se trouve que dans certaines situations, en appliquant ce principe on peut retrouver de bons ordres de grandeur des quantit\u00e9s qu’on cherche, sans faire de calcul d\u00e9taill\u00e9 et simplement en consid\u00e9rant le fait que les unit\u00e9s doivent coller.<\/p>\n

Voyons ici comment se principe permet d’estimer l’\u00e9nergie minimale qu’il faut pour cr\u00e9er un trou noir, ce qu’on appelle l’\u00e9nergie de Planck<\/strong>.<\/p>\n

L\u2019\u00e9nergie de Planck<\/h3>\n

On sait qu\u2019il existe 3 constantes fondamentales r\u00e9gissant la physique th\u00e9orique\u00a0: la vitesse de la lumi\u00e8re \\(c\\), la constante de Planck \\(\\hbar\\), et la constante de gravitation universelle \\(G_0\\). Voici ci-dessous la valeur de chacune de ces constantes avec la bonne unit\u00e9\u00a0:<\/p>\n

Vitesse de la lumi\u00e8re\u00a0: \\(c=3.10^8\\ m\/s\\)<\/em><\/span><\/p>\n

Constance de Planck \\(\\hbar =10^{-34}\\ m^2.kg\/s\\)<\/em><\/span><\/p>\n

Constante de Newton \\(G_0 = 6.10^{-11}\\ m^3\/kg\/s^2\\)<\/em><\/span><\/p>\n

Et maintenant, avec ces trois constantes, fabriquez moi une quantit\u00e9 qui soit une \u00e9nergie<\/strong>\u00a0! Petit indice, une \u00e9nergie, \u00e7a a pour unit\u00e9 le Joule, or 1 Joule, \u00e7a n’est autre que \\(1\\ kg.m^2\/s^2\\).<\/p>\n

En cherchant un peu, vous allez vous rendre compte qu’il n’existe qu’une seule mani\u00e8re de fabriquer une \u00e9nergie avec les 3 constantes fondamentales<\/strong>, c’est de faire la combinaison suivante :<\/p>\n

\\(E_P=\\sqrt{\\frac{\\hbar c^5}{G_0}}\\)<\/span><\/p>\n

Cette quantit\u00e9, que j’ai not\u00e9 \\(E_P\\) s’appelle l\u2019\u00e9nergie de Planck, et donne l’ordre de grandeur de l\u2019\u00e9nergie qu\u2019il faudrait pour cr\u00e9er le plus petit trou noir possible. Je vous fait gr\u00e2ce de l\u2019application num\u00e9rique, mais on trouve en gros une \u00e9nergie de \\(10^9\\) joules. Une fois convertie en t\u00e9ra-\u00e9lectrons-volts (TeV), l\u2019unit\u00e9 favorite des acc\u00e9l\u00e9rateurs de particule, on trouve environ \\(10^{16}\\) TeV.<\/p>\n

Pour cr\u00e9er un micro trou noir, il nous faut donc une \u00e9nergie d’environ \\(10^{16}\\) TeV. Sachant que le nouveau collisionneur LHC est susceptible d\u2019atteindre au mieux des \u00e9nergies d\u2019environ 7 TeV<\/strong>, on comprend qu\u2019a priori, on est loin…tr\u00e8s loin…de pouvoir y cr\u00e9er le moindre trou noir<\/strong> ! Donc pas de risque a priori…sauf si on fait intervenir des dimensions suppl\u00e9mentaires !<\/p>\n

Une gravit\u00e9 pas si faible<\/h3>\n

Vous le savez certainement, les dimensions suppl\u00e9mentaires ont le vent en poupe en physique th\u00e9orique, en particulier dans les diff\u00e9rentes versions de la c\u00e9l\u00e9brissime th\u00e9orie des cordes<\/strong> dont je parlais dans ce billet<\/a>.<\/p>\n

Or il se trouve que la pr\u00e9sence de dimensions suppl\u00e9mentaires pourrait modifier le calcul de l\u2019\u00e9nergie de Planck que je pr\u00e9sentais ci-dessus. En effet si l\u2019\u00e9nergie de Planck est si grande, c\u2019est notamment parce que la constante de gravitation \\(G_0\\) est tr\u00e8s petite, ce qui traduit le fait que la force de gravit\u00e9 est tr\u00e8s faible<\/strong>, comparativement aux autres forces comme l\u2019\u00e9lectromagn\u00e9tisme.<\/p>\n

Maintenant imaginons que l\u2019on vive dans un monde avec plein de dimensions suppl\u00e9mentaires, que la gravit\u00e9 y soit en r\u00e9alit\u00e9 une force assez forte, mais qu\u2019elle nous apparaisse faible car elle se trouve \u00ab\u00a0dilu\u00e9e\u00a0\u00bb dans les dimensions suppl\u00e9mentaires. Cela voudrait dire que la v\u00e9ritable constante G \u00e0 prendre dans le calcul pourrait \u00eatre plus \u00e9lev\u00e9e que pr\u00e9vue, et donc l\u2019\u00e9nergie de Planck plus basse<\/strong> !<\/p>\n

Mais pour calculer \u00e7a dans le d\u00e9tail, il faut reprendre notre analyse dimensionnelle.<\/p>\n

L\u2019\u00e9nergie de Planck en 3+n dimensions<\/h3>\n

Alors allons-y\u00a0: supposons qu\u2019il y ait n dimensions d\u2019espace suppl\u00e9mentaires, en plus des 3 que nous connaissons bien. La premi\u00e8re modification qu\u2019il faut consid\u00e9rer, c\u2019est celle de la loi de gravit\u00e9 de Newton. En 3 dimensions, le potentiel de gravit\u00e9 associ\u00e9 \u00e0 l\u2019attraction de 2 corps situ\u00e9s \u00e0 distance \\(r\\) s\u2019\u00e9crit<\/p>\n

\\(V(r) = – \\frac{G_0 m_1m_2}{r}\\)<\/p>\n

Cette forme du potentiel ob\u00e9it \u00e0 une propri\u00e9t\u00e9 particuli\u00e8re\u00a0: la loi de Gauss<\/a>, qui affirme que le flux du champ gravitationnel \u00e0 travers une surface est \u00e9gal \u00e0 la masse enferm\u00e9e par cette surface (programme de lyc\u00e9e scientifique aussi, non ?)<\/p>\n

Si maintenant on se place en (3+n) dimensions, il faut modifier l\u2019expression du potentiel pour que la loi de Gauss soit toujours satisfaite, car maintenant les surfaces et les volumes ont \\(n\\) dimensions de plus. La forme qui colle est la suivante :<\/p>\n

\u00a0\\(V(r) = – \\frac{G_n m_1m_2}{r^{1+n}}\\)<\/p>\n

o\u00f9 \\(G_n\\) d\u00e9signe la constante de gravitation en (3+n) dimensions. Comme vous pouvez le voir en regardant attentivement les unit\u00e9s dans cette formule, cette hypoth\u00e9tique constante ne s\u2019exprime pas dans la m\u00eame unit\u00e9 que celle que l\u2019on connait. La bonne unit\u00e9, c’est le \\(m^{3+n}\/kg\/s^2\\).<\/p>\n

Donc pour fabriquer une \u00e9nergie \u00e0 partir de \\(G_n\\), de \\(\\hbar\\) et de \\(c\\), il faut modifier le calcul d\u2019analyse dimensionnelle. Le calcul n\u2019a rien de compliqu\u00e9, je vous l’\u00e9pargne, voici comment fabriquer l\u2019\u00e9nergie de Planck en 3+n dimensions \u00e0 partir des 3 constantes :<\/p>\n

\\(E_P = \\left(\\frac{h^{1+n}c^{5+n}}{G_n}\\right)^{\\frac{1}{2+n}}\\)<\/p>\n

Donc si l’hypoth\u00e8se des dimensions suppl\u00e9mentaires est correcte, on peut calculer la v\u00e9ritable \u00e9nergie de Planck en 3+n dimensions…\u00e0 condition de connaitre la valeur de \\(G_n\\) !<\/p>\n

Et Gn, \u00e7a vaut combien\u00a0?<\/h3>\n

Pour deviner \\(G_n\\), on va partir de ce qu’on connait, \u00e0 savoir la valeur \\(G_0\\) que l’on observe dans notre monde apparemment tridimensionnel. Comme je l’expliquais, l’id\u00e9e sous-jacente est que ce qu’on observe, c’est une version dilu\u00e9e de la gravit\u00e9 \u00e0 cause des dimensions suppl\u00e9mentaires<\/strong>. Alors essayons de comprendre la mani\u00e8re dont \\(G_n\\) se dilue pour donner \\(G_0\\).<\/p>\n

\"\"<\/a>Pour calculer l\u2019effet de la dilution, on va supposer conform\u00e9ment aux habitudes que les dimensions suppl\u00e9mentaires sont des dimensions \u00ab\u00a0enroul\u00e9es\u00a0\u00bb, qui sont compact\u00e9es selon un rayon R, comme sur le dessin ci-contre. On peut alors partir de l\u2019expression du potentiel de gravit\u00e9 en (3+n) dimensions, et en d\u00e9duire le potentiel \u00ab\u00a0apparent\u00a0\u00bb vus des 3 dimensions macroscopiques (non-enroul\u00e9es) qui nous sont famili\u00e8res. On a<\/p>\n

\\(V(r) = -\\frac{G_n m_1 m_2}{r^{1+n}}\\approx -\\frac{G_n m_1 m_2}{R^n r}\\)<\/p>\n

On voit bien dans cette formule qu’on retrouve notre potentiel de gravit\u00e9 habituel, pour peu que notre constante \\(G_0\\) s\u2019identifie au rapport \\(G_n\/R^n\\). Donc connaissant \\(G_0\\), on peut retrouver \\(G_n\\) en faisant une hypoth\u00e8se sur le rayon \\(R\\), et bien s\u00fbr sur le nombre \\(n\\) de dimensions suppl\u00e9mentaires.<\/p>\n

Alors, alors\u00a0? On va en voir, des trous noirs\u00a0?<\/h3>\n

Si je replace l\u2019expression de \\(G_n\\) par \\(G_0 R^n\\) dans la formule de l\u2019\u00e9nergie de Planck en 3+n dimensions, j\u2019obtiens :<\/p>\n

\\(E_P = \\left[\\left(\\frac{\\hbar c}{R}\\right)^n \\frac{\\hbar c^5}{G_0}\\right]^{\\frac{1}{2+n}}\\)<\/p>\n

Voici diff\u00e9rentes applications num\u00e9riques de ce calcul pour plusieurs choix de n et de R :<\/p>\n