{"id":2189,"date":"2011-10-10T00:01:47","date_gmt":"2011-10-09T22:01:47","guid":{"rendered":"http:\/\/sciencetonnante.wordpress.com\/?p=2189"},"modified":"2011-10-10T00:01:47","modified_gmt":"2011-10-09T22:01:47","slug":"la-theorie-de-la-relativite-de-galilee","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/scienceetonnante.com\/blog\/2011\/10\/10\/la-theorie-de-la-relativite-de-galilee\/","title":{"rendered":"La th\u00e9orie de la relativit\u00e9 de … Galil\u00e9e !"},"content":{"rendered":"

\"\"<\/a>L’actualit\u00e9 scientifique de ces derniers jours a fait beaucoup de r\u00e9f\u00e9rences \u00e0 la th\u00e9orie de la relativit\u00e9 restreinte. A cette occasion, j\u2019ai pens\u00e9 que c\u2019\u00e9tait une bonne id\u00e9e de rappeler que l\u2019id\u00e9e de relativit\u00e9 ne date pas d\u2019Einstein<\/strong>, mais trouve son origine dans les travaux de Galil\u00e9e.<\/p>\n

On peut m\u00eame consid\u00e9rer que la relativit\u00e9 restreinte d’Einstein n’est qu’une alt\u00e9ration simple, mais lourde de cons\u00e9quence, de la relativit\u00e9 de Galil\u00e9e.<\/p>\n

Mon id\u00e9e dans ce billet sera donc de vous pr\u00e9senter cette relativit\u00e9 galil\u00e9enne d’une mani\u00e8re qui, je l’esp\u00e8re, rendra plus limpide la relativit\u00e9 restreinte \u00e0 ceux qui l’ont apprise, ou \u00e0 ceux qui souhaitent la d\u00e9couvrir bient\u00f4t.<\/p>\n

Le principe de relativit\u00e9<\/h3>\n

Il s’agit d’une exp\u00e9rience que nous avons tous v\u00e9cue : lorsque l’on se trouve dans un train qui roule \u00e0 c\u00f4t\u00e9 d\u2019un autre train immobile, il est parfois difficile de deviner lequel des deux se d\u00e9place v\u00e9ritablement. Cette sensation bizarre n’est qu’une des manifestations d’un ph\u00e9nom\u00e8ne plus g\u00e9n\u00e9ral que Galil\u00e9e fut le premier \u00e0 comprendre, l’id\u00e9e de relativit\u00e9.<\/p>\n

Consid\u00e9rons deux trains (ou deux bateaux, comme le fit Galil\u00e9e), l’un \u00e0 l’arr\u00eat, et l’autre se d\u00e9pla\u00e7ant en ligne droite \u00e0 vitesse V constante. Imaginons qu’\u00e0 l’int\u00e9rieur de chacun des deux trains, vous et un complice r\u00e9alisiez chacun des exp\u00e9riences de m\u00e9canique en utilisant des billes, un pendule, des ressorts, tout le mat\u00e9riel qu’il vous plaira ! Ce que Galil\u00e9e a r\u00e9alis\u00e9 le premier, c’est que ces exp\u00e9riences men\u00e9es dans chacun des deux trains donneront toujours des r\u00e9sultats identiques, et c’est pour cela que nous sommes incapables de deviner lequel roule vraiment.<\/p>\n

\"\"<\/a><\/p>\n

Cette constatation s’appelle le principe de relativit\u00e9 : les m\u00eames exp\u00e9riences de m\u00e9canique men\u00e9es dans deux r\u00e9f\u00e9rentiels en translation rectiligne uniforme l’un par rapport \u00e0 l’autre donnent exactement les m\u00eames r\u00e9sultats<\/strong>. J’insiste sur un point concernant cet \u00e9nonc\u00e9: il ne s’agit pas d’un principe math\u00e9matique abstrait et encore moins d’un postulat, il s’agit d’un fait exp\u00e9rimental issu de l’observation ! Vous pouvez d’ailleurs aller lire l’excellent texte initial<\/a> de Galil\u00e9e sur le sujet : \u00ab\u00a0Enfermez vous avec un ami dans la plus grande cabine sous le pont d’un grand navire…<\/em>\u00ab\u00a0<\/p>\n

Notez que ce principe n\u2019est plus valable si on abandonne le mouvement rectiligne uniforme<\/strong>. Si votre train se met \u00e0 freiner, \u00e0 tourner, ou \u00e0 avoir des \u00e0-coups, vous allez ressentir une force vous entra\u00eenant d’un c\u00f4t\u00e9 ou d’un autre : vous pouvez donc savoir que vous \u00eates dans le train en mouvement. De m\u00eame des exp\u00e9riences r\u00e9alis\u00e9es dans un man\u00e8ge immobile et dans un man\u00e8ge en rotation donneront des r\u00e9sultats diff\u00e9rents : par exemple si vous posez une bille sur le sol d’un man\u00e8ge en rotation, la bille roulera vers l’ext\u00e9rieur \u00e0 cause de la force centrifuge, alors que si le man\u00e8ge est \u00e0 l’arr\u00eat, elle restera immobile.<\/p>\n

Le principe de relativit\u00e9 n’est donc v\u00e9rifi\u00e9 que pour des r\u00e9f\u00e9rentiels en translation rectiligne uniforme l’un par rapport \u00e0 l’autre, on appelle d’ailleurs ces r\u00e9f\u00e9rentiels des r\u00e9f\u00e9rentiels galil\u00e9ens<\/strong>.<\/p>\n

Les r\u00e9f\u00e9rentiels d’espace-temps<\/h3>\n

\"\"<\/a>Pour aller plus loin avec le principe de relativit\u00e9, pr\u00e9cisons cette notion de r\u00e9f\u00e9rentiel. En m\u00e9canique, on cherche \u00e0 \u00e9tudier le mouvement des objets; et pour parler de la position ou de la vitesse d\u2019un objet, nous avons besoin d\u2019un r\u00e9f\u00e9rentiel qui nous dise comment mesurer l’espace et le temps<\/strong>. On peut voir un r\u00e9f\u00e9rentiel d’espace-temps comme une sorte de grille munie d\u2019une horloge, qui va permettre de rep\u00e9rer les \u00e9v\u00e8nements en leur associant des coordonn\u00e9es (x,t).<\/p>\n

Il existe tout un tas de mani\u00e8res de choisir son r\u00e9f\u00e9rentiel. La figure ci-contre montre comment un m\u00eame point peut \u00eatre repr\u00e9sent\u00e9 par des coordonn\u00e9es diff\u00e9rentes dans deux r\u00e9f\u00e9rentiels diff\u00e9rents.<\/p>\n

En pratique, pour faire des calculs ou comparer des observations, on peut avoir besoin de changer de r\u00e9f\u00e9rentiel<\/strong>. Pour passer d’un r\u00e9f\u00e9rentiel R \u00e0 un r\u00e9f\u00e9rentiel R’, il faut conna\u00eetre l’op\u00e9ration math\u00e9matique qui permet de transformer (x,t), les coordonn\u00e9es d’un \u00e9v\u00e8nement dans R, en (x’,t’) ses coordonn\u00e9es dans R’.<\/p>\n

La forme de cette transformation math\u00e9matique d\u00e9pend des r\u00e9f\u00e9rentiels. Quand les r\u00e9f\u00e9rentiels sont fixes l’un par rapport \u00e0 l’autre, c’est assez simple. Mais quand ils sont en mouvement relatif, trouver la transformation qui permet de passer de (x,t) \u00e0 (x’,t’) devient plus compliqu\u00e9.<\/p>\n

Dans la suite, on va se limiter au cas qui nous int\u00e9resse pour appliquer le principe de relativit\u00e9, celui des r\u00e9f\u00e9rentiels galil\u00e9ens. Nous allons donc chercher la transformation math\u00e9matique qui permet de passer de (x,t) \u00e0 (x’,t’) entre deux r\u00e9f\u00e9rentiels galil\u00e9ens.
\n<\/strong><\/p>\n

La transformation de Galil\u00e9e<\/h3>\n

Si on suppose deux r\u00e9f\u00e9rentiels en mouvement relatif \u00e0 vitesse V, et qui co\u00efncident \u00e0 l’origine, la solution la plus \u00e9vidente \u00e0 la question que nous nous posons est la suivante :<\/p>\n

\\(t’=t\\)<\/em><\/span><\/p>\n

\\(x’ = x – Vt\\)<\/span>
\n<\/em><\/p>\n

Cette op\u00e9ration simple s’appelle la transformation de Galil\u00e9e. Elle suppose que le temps est absolu, et donc que la mesure du temps est identique dans les deux r\u00e9f\u00e9rentiels (t=t’). La transformation de Galil\u00e9e poss\u00e8de plusieurs propri\u00e9t\u00e9s qu’il est bon de souligner.<\/p>\n

De mani\u00e8re \u00e9vidente, puisque le temps est absolu, elle conserve les intervalles de temps entre les \u00e9v\u00e8nements. En particulier si deux \u00e9v\u00e8nements sont simultan\u00e9s dans R, alors il le seront aussi dans R’. La transformation de Galil\u00e9e pr\u00e9serve la simultan\u00e9it\u00e9<\/strong>. De la m\u00eame mani\u00e8re, la transformation pr\u00e9serve les mesures de longueur : si \u00e0 un instant donn\u00e9 on mesure la longueur d\u2019un objet dans R, on trouvera une r\u00e9ponse identique si on r\u00e9alise la mesure dans R\u2019. Ces deux propri\u00e9t\u00e9s sont bien pratiques : elles signifient que deux observateurs dans deux r\u00e9f\u00e9rentiels galil\u00e9ens seront toujours d’accord<\/strong> sur les mesures de longueur ou de temps.<\/p>\n

Et enfin troisi\u00e8me cons\u00e9quence, les vitesses se composent en s\u2019additionnant<\/strong> : puisque x\u2019 = x- Vt, on a dx\/dt = dx’\/dt’ + V. Pour conna\u00eetre la vitesse d\u2019un objet dans R, il suffit de conna\u00eetre celle dans R’ et d’ajouter V. L\u00e0 encore \u00e7a parait naturel : si vous lancez une balle \u00e0 5 km\/h dans un train roulant \u00e0 100 km\/h par rapport au sol, la balle ira \u00e0 105 km\/h par rapport au sol !<\/p>\n

La pr\u00e9servation de la loi de Newton<\/h3>\n

Une des cons\u00e9quences cruciales de la transformation de Galil\u00e9e nous vient du principe de relativit\u00e9 : les m\u00eames exp\u00e9riences de m\u00e9canique men\u00e9es dans deux r\u00e9f\u00e9rentiels galil\u00e9ens donnent des r\u00e9sultats identiques. Une mani\u00e8re plus abstraite de le dire, c’est d’affirmer que les lois de la physique sont identiques dans les deux r\u00e9f\u00e9rentiels<\/strong>, car si elles \u00e9taient diff\u00e9rentes, on obtiendrait des r\u00e9sultats diff\u00e9rents avec nos exp\u00e9riences !<\/p>\n

Affirmer qu’une loi est la m\u00eame dans deux r\u00e9f\u00e9rentiels, c’est affirmer que si on lui applique la transformation de changement de r\u00e9f\u00e9rentiel, elle ne doit pas \u00eatre modifi\u00e9e<\/strong>. Voyons si \u00e7a fonctionne avec la loi la plus importante de la m\u00e9canique classique, la loi de Newton qui nous dit que F=ma<\/em>.<\/p>\n

Cette loi appliqu\u00e9e dans le r\u00e9f\u00e9rentiel R s’\u00e9crit :<\/p>\n

\\(F=m\\frac{d^2x}{dt^2}\\).<\/p>\n

Si on transforme les coordonn\u00e9es pour passer dans R’, on a \\(t’=t\\) et \\(x’ = x-Vt\\) d’o\u00f9 on tire<\/p>\n

\\(m\\frac{d^2x’}{dt’^2} = m\\frac{d^2x}{dt^2}\\).<\/p>\n

La loi de Newton est donc bien identique dans R’.<\/p>\n

Nous venons de d\u00e9montrer que la loi de Newton est pr\u00e9serv\u00e9e par transformation galil\u00e9enne, donc elle respecte le principe de relativit\u00e9 ! J\u2019insiste sur le fait que ceci n\u2019a rien d\u2019\u00e9vident a priori. La transformation de Galil\u00e9e et la loi de Newton forment un ensemble coh\u00e9rent.<\/strong> Si on avait imagin\u00e9 une loi diff\u00e9rente, par exemple \\(F = m (dx\/dt)\\), on aurait trouv\u00e9 que dans R’ \\(F= m (dx’\/dt’)+V\\). Cette loi n’aurait pas \u00e9t\u00e9 compatible avec le principe de relativit\u00e9.<\/p>\n

On voit qu’une fois on connait la transformation de Galil\u00e9e, l<\/strong>a compatibilit\u00e9 avec le principe de relativit\u00e9 impose une restriction sur les lois physiques possibles<\/strong>. C’est un point extr\u00eamement fort, car il nous permet de faire le tri entre des lois physiques qui ont une chance d’\u00eatre correctes, et celles qui ne peuvent pas l’\u00eatre, car elles violeraient le principe de relativit\u00e9.<\/p>\n

La relativit\u00e9 restreinte en 3 minutes<\/h3>\n

Maintenant que vous savez tout sur la relativit\u00e9 de Galil\u00e9e, nous allons voir en un mot comment la transformer en relativit\u00e9 restreinte.<\/p>\n

La diff\u00e9rence entre les deux se r\u00e9sume \u00e0 un seul point : en relativit\u00e9 restreinte, la transformation de Galil\u00e9e est remplac\u00e9e par une autre transformation math\u00e9matique, la transformation de Lorentz<\/strong>. C’est tout ! Le g\u00e9nie d’Einstein, et des savants qui ont contribu\u00e9 \u00e0 cette r\u00e9volution, est d’avoir compris que bien que la transformation de Galil\u00e9e soit LE choix \u00e9vident, \u00e7a n’est pas le seul, et pas le bon !<\/p>\n

Pour les curieux, la transformation de Lorentz permet de passer de (x,t) \u00e0 (x’,t’) en appliquant les op\u00e9rations suivantes :<\/p>\n

\\(t’=\\frac{t-Vx\/c^2}{\\sqrt{1-V^2\/c^2}}\\)<\/em><\/p>\n

\\(x’ = \\frac{x – Vt}{\\sqrt{1-V^2\/c^2}}\\)
\n<\/em><\/p>\n

o\u00f9 c est bien s\u00fbr la vitesse de la lumi\u00e8re. Oui je sais, c’est un peu lourd, on excuse Galil\u00e9e de ne pas y avoir pens\u00e9. \u00c9videmment, si on remplace la transformation de Galil\u00e9e par celle Lorentz, toute les cons\u00e9quences que je viens d\u2019\u00e9noncer se modifient. En particulier, deux r\u00e9f\u00e9rentiels en translation rectiligne uniforme ne vont plus mesurer les m\u00eames intervalles de temps ou les m\u00eames distances, et les vitesses ne vont plus s\u2019additionner normalement. C’est d’ailleurs cette nouvelle loi de composition des vitesses qui permet de rendre compte du fait que la lumi\u00e8re voyage \u00e0 une vitesse identique dans tous les r\u00e9f\u00e9rentiels galil\u00e9ens.<\/p>\n

Et \u00e0 cause du principe de relativit\u00e9, m\u00eame les lois de la m\u00e9canique vont changer. En effet notre bon vieux F=ma n\u2019est pas pr\u00e9serv\u00e9 par la transformation de Lorentz, il va donc falloir le modifier un peu, mais c’est une autre histoire…<\/p>\n

Pour aller plus loin…<\/em><\/h3>\n

Un point important pour les curieux : j’ai balanc\u00e9 sans explications la forme math\u00e9matique des transformations de Galil\u00e9e et de Lorentz. D’o\u00f9 sortent-elles et qu’est-ce qui prouve qu’il n’y en a pas des tas d’autres possibles ? En fait, si on impose que les transformations sont lin\u00e9aires et forment un groupe, on peut d\u00e9montrer que les transformations de Galil\u00e9e et de Lorentz sont les deux seuls choix possibles. Pas d’autre alternative ! La d\u00e9monstration est assez facile, voir ici<\/a> sur Wikip\u00e9dia ou sur ce billet du Webinet des curiosit\u00e9s.<\/a><\/em><\/p>\n

Einstein avait compris que la loi de Newton \u00e9tait invariante par la transformation de Galil\u00e9e mais que les \u00e9quations de Maxwell l’\u00e9taient par celle de Lorentz. Il fallait r\u00e9soudre ce paradoxe, il l’a fait en montrant que Lorentz \u00e9tait le bon choix, et que la loi de Newton devait \u00eatre modifi\u00e9e, pour prendre une forme compatible.<\/em><\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

L’actualit\u00e9 scientifique de ces derniers jours a fait beaucoup de r\u00e9f\u00e9rences \u00e0 la th\u00e9orie de la relativit\u00e9 restreinte. A cette occasion, j\u2019ai pens\u00e9 que c\u2019\u00e9tait une bonne id\u00e9e de rappeler que l\u2019id\u00e9e de relativit\u00e9 ne date pas d\u2019Einstein, mais trouve son origine dans les travaux de Galil\u00e9e. On peut m\u00eame consid\u00e9rer que la relativit\u00e9 restreinte<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"jetpack_post_was_ever_published":false,"_jetpack_newsletter_access":"","_jetpack_dont_email_post_to_subs":false,"_jetpack_newsletter_tier_id":0,"_jetpack_memberships_contains_paywalled_content":false,"_jetpack_memberships_contains_paid_content":false,"footnotes":""},"categories":[6],"tags":[15,31],"class_list":{"0":"post-2189","1":"post","2":"type-post","3":"status-publish","4":"format-standard","6":"category-physique","7":"tag-mecanique","8":"tag-relativite"},"jetpack_featured_media_url":"","jetpack_sharing_enabled":true,"post_mailing_queue_ids":[],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/scienceetonnante.com\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/2189","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/scienceetonnante.com\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/scienceetonnante.com\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/scienceetonnante.com\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/scienceetonnante.com\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=2189"}],"version-history":[{"count":0,"href":"https:\/\/scienceetonnante.com\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/2189\/revisions"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/scienceetonnante.com\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=2189"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/scienceetonnante.com\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=2189"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/scienceetonnante.com\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=2189"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}