{"id":2155,"date":"2011-10-03T00:01:41","date_gmt":"2011-10-02T22:01:41","guid":{"rendered":"http:\/\/sciencetonnante.wordpress.com\/?p=2155"},"modified":"2011-10-03T00:01:41","modified_gmt":"2011-10-02T22:01:41","slug":"la-mesure-de-la-circonference-de-la-terre-par-eratosthene","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/scienceetonnante.com\/blog\/2011\/10\/03\/la-mesure-de-la-circonference-de-la-terre-par-eratosthene\/","title":{"rendered":"La mesure de la circonf\u00e9rence de la Terre par Eratosth\u00e8ne"},"content":{"rendered":"

\"\"<\/a>On a souvent tendance \u00e0 penser qu’il a fallu attendre la Renaissance pour que l’humanit\u00e9 d\u00e9couvre que la Terre n’\u00e9tait pas plate. C’est une fausse croyance, car l’id\u00e9e que la Terre soit ronde date de l’Antiquit\u00e9, et \u00e9tait partag\u00e9e par de nombreux savants comme Platon ou Aristote.<\/p>\n

D’ailleurs en 200 avant J.C., Eratosth\u00e8ne a m\u00eame r\u00e9ussi l\u2019exploit de calculer la circonf\u00e9rence de la Terre \u00e0 quelques centaines de kilom\u00e8tres pr\u00e8s, puisqu’il l’estima \u00e0 39 375 km, alors que la valeur actuellement admise est autour de 40 070 km !<\/p>\n

Voyons ensemble comment il a proc\u00e9d\u00e9.<\/p>\n

Le soleil au fond des puits<\/h3>\n

A la fin du III\u00e8me si\u00e8cle en Egypte, sous le r\u00e8gne du pharaon Ptol\u00e9m\u00e9e III, le grec Erathost\u00e8ne \u00e9tait un savant r\u00e9put\u00e9. Il dirigeait notamment la grande Biblioth\u00e8que d\u2019Alexandrie, et fut le pr\u00e9cepteur du futur pharaon Ptol\u00e9m\u00e9e IV.<\/p>\n

\"\"<\/a>Fort de ses connaissances d’astronomie et de g\u00e9ographie, il mis au point une m\u00e9thode purement g\u00e9om\u00e9trique pour estimer la circonf\u00e9rence de la Terre. Pour cela, il partit de la constatation suivante : \u00ab\u00a0Dans la ville de Sy\u00e8ne, \u00e0 midi le jour du solstice d\u2019\u00e9t\u00e9, le soleil \u00e9claire le fond des puits\u00a0\u00bb.<\/em><\/p>\n

Que signifie cette phrase \u00e9nigmatique\u00a0? Tout simplement qu’\u00e0 Sy\u00e8ne, le 21 juin \u00e0 midi, le soleil est exactement \u00e0 la verticale du sol<\/strong> (et que ses rayons peuvent donc atteindre le fond des puits.)<\/p>\n

Du point de vue g\u00e9ographique, avoir le Soleil \u00e0 la verticale au solstice d’\u00e9t\u00e9 signifie que l\u2019on se trouve sur le tropique du Cancer. C’est ce qu’illustre la figure ci-contre, qui rappelle l’inclinaison de l’axe de rotation de la Terre, et montre la position de Sy\u00e8ne, situ\u00e9e sur le lieu de l’actuelle ville d’Assouan, non loin du tropique.<\/p>\n

\"\"<\/a>A l’ombre du phare<\/h3>\n

Si le 21 juin \u00e0 Sy\u00e8ne, le Soleil est \u00e0 la verticale du sol, c’est que la trajectoire de ses rayons \u00e0 cet endroit passe par le centre de la Terre. Pour d\u00e9terminer la circonf\u00e9rence de la Terre, Erathost\u00e8ne a alors r\u00e9alis\u00e9 une deuxi\u00e8me mesure.<\/p>\n

Le 21 juin, mais cette fois \u00e0 Alexandrie, il observa l’ombre du Phare, et mesura l’angle qu’elle formait avec son sommet (bon, pour certains, il ne s’agissait pas de l’ombre du Phare d’Alexandrie, mais de celle d’un simple morceau de bois).<\/p>\n

Que ce soit un phare ou un bout de bois, le r\u00e9sultat est le m\u00eame, Eratosth\u00e8ne observa que l’angle form\u00e9 valait 1\/50\u00e8me de cercle<\/em><\/strong>, soit 360\u00b0\/50 = 7.2\u00b0. C’est ce qu’illustre le dessin ci-contre, dont j’ai exag\u00e9r\u00e9 l’angle pour que ce soit plus facile \u00e0 visualiser.<\/p>\n

Apr\u00e8s avoir mesur\u00e9 cet angle, Eratosth\u00e8ne fit ce qu’aurait fait tout bon \u00e9l\u00e8ve de 5\u00e8me, il fit une figure et invoqua un th\u00e9or\u00e8me de g\u00e9om\u00e9trie.<\/p>\n

La figure ci-dessous montre la surface de la Terre, et la mani\u00e8re dont les rayons du Soleil viennent la frapper le 21 juin \u00e0 Sy\u00e8ne (point A) et \u00e0 Alexandrie (point B). D’apr\u00e8s le th\u00e9or\u00e8me des angles alternes-internes<\/strong>, les deux angles en rouge sur la figure sont \u00e9gaux.<\/p>\n

\"\"<\/a>L’angle au sommet du phare est donc \u00e9gal \u00e0 l’angle qui s\u00e9pare les deux villes \u00e0 la surface de la Terre. D’ailleurs le 7.2\u00b0 que nous avons trouv\u00e9 correspond \u00e0 peu pr\u00e8s \u00e0 leur diff\u00e9rence de latitude (31\u00b012′ et 24\u00b005′).<\/p>\n

Puisque la mesure de cet angle par Erathost\u00e8ne \u00e0 Alexandrie donne 1\/50\u00e8me de cercle, la distance entre Sy\u00e8ne et Alexandrie vaut 1\/50\u00e8me de la circonf\u00e9rence de la Terre<\/strong>. Et pour calculer celle-ci, il ne nous reste plus qu’\u00e0 conna\u00eetre la distance de Sy\u00e8ne \u00e0 Alexandrie…et c’est l\u00e0 que le chameau entre en jeu.<\/p>\n

A dos de chameau<\/h3>\n

Pour mesurer les distances, on sait qu’un chameau met environ 50 jours pour aller d’Alexandrie \u00e0 Sy\u00e8ne, et qu’en un jour il parcours une distance de 100 stades (le stade \u00e9tant l’unit\u00e9 de distance en vigueur \u00e0 ce moment l\u00e0). La distance entre les deux villes est donc d’environ 5000 stades. Et puisque cette distance vaut 1\/50\u00e8me de la circonf\u00e9rence de la Terre, c’est que cette derni\u00e8re mesure environ 250 000 stades.<\/p>\n

Euh, mais \u00e7a vaut combien un stade\u00a0? Apparemment, chez les Egyptiens, le stade valait 157.5 m\u00e8tres. Ce qui nous donne comme estimation de la circonf\u00e9rence de la Terre 39 375 km.<\/strong> Pas mal quand on sait que la v\u00e9ritable valeur est environ de 40 000km\u00a0!<\/p>\n

Quelques \u00e9l\u00e9ments sur la validit\u00e9 de la mesure<\/h3>\n

Le calcul fait par Erathost\u00e8ne repose sur quelques suppositions que l’on peut mentionner et discuter.<\/p>\n

\"\"<\/a>La premi\u00e8re, c’est bien s\u00fbr que la Terre est ronde ! Or on sait aujourd’hui qu’il s’agit plut\u00f4t d’une sph\u00e8re l\u00e9g\u00e8rement applatie au niveau des p\u00f4les<\/strong>. Ce qui fait que la circonf\u00e9rence de l’\u00e9quateur mesure environ 70km de plus que la circonf\u00e9rence qui passe par les p\u00f4les.<\/p>\n

La deuxi\u00e8me supposition, c’est que les rayons du Soleil qui frappent la Terre sont bien parall\u00e8les entre eux. Cela revient \u00e0 supposer que le Soleil est situ\u00e9 suffisament loin, ce qui en l’esp\u00e8ce est une approximation tout \u00e0 fait raisonnable.<\/p>\n

Enfin la derni\u00e8re hypoth\u00e8se faite par Eratosth\u00e8ne, c’est que Sy\u00e8ne et Alexandrie sont situ\u00e9es sur le m\u00eame m\u00e9ridien<\/strong>. C’est en effet une supposition implicite quand on r\u00e9alise la figure qui nous a permis de conclure. Bien que les deux villes soient toutes les deux situ\u00e9es sur le cours du Nil, elle ne sont pas strictement sur le m\u00eame m\u00e9dirien, comme le montre la carte ci-contre. Heureusement, Eratosth\u00e8ne commis une autre erreur qui compensa celle-ci : par la technique du chameau il sous-estima l\u00e9g\u00e8rement la distance entre les deux villes (il devait avoir des chameaux de comp\u00e9tition…)<\/p>\n

A vous de jouer\u00a0!<\/h3>\n

\"\"<\/a>Pour reproduire le calcul d’Eratosth\u00e8ne, nul besoin d’aller en Egypte, ni d’attendre le solstice d’\u00e9t\u00e9 pour s’y balader \u00e0 dos de chameau. On peut utiliser deux villes quelconques, du moment qu’elle sont bien situ\u00e9es sur le m\u00eame m\u00e9ridien. Pour cela il faut adapter un peu la mesure.<\/p>\n

Supposons que vous viviez \u00e0 Nancy, et que vous ayez un ami habitant Toulon. Le m\u00eame jour, \u00e0 midi au soleil, plantez un b\u00e2ton bien vertical dans le sol, rep\u00e9rez l’ombre form\u00e9e et mesurez chacun l’angle au sommet. Avec un tout petit peu de g\u00e9om\u00e9trie du triangle (voir ci-contre), vous pouvez vous convaincre que l’angle C est la diff\u00e9rence entre l’angle B \u00e0 Nancy et l’angle A \u00e0 Toulon.<\/p>\n

Il ne vous reste plus qu’\u00e0 conna\u00eetre la distance entre Nancy et Toulon, et vous retrouvez la circonf\u00e9rence de la Terre\u00a0! Bien s\u00fbr dans ce calcul, il y a aussi une hypoth\u00e8se forte, celle qu’on puisse trouver du soleil \u00e0 Nancy…<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

On a souvent tendance \u00e0 penser qu’il a fallu attendre la Renaissance pour que l’humanit\u00e9 d\u00e9couvre que la Terre n’\u00e9tait pas plate. C’est une fausse croyance, car l’id\u00e9e que la Terre soit ronde date de l’Antiquit\u00e9, et \u00e9tait partag\u00e9e par de nombreux savants comme Platon ou Aristote. D’ailleurs en 200 avant J.C., Eratosth\u00e8ne a m\u00eame<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"jetpack_post_was_ever_published":false,"_jetpack_newsletter_access":"","_jetpack_dont_email_post_to_subs":false,"_jetpack_newsletter_tier_id":0,"_jetpack_memberships_contains_paywalled_content":false,"_jetpack_memberships_contains_paid_content":false,"footnotes":""},"categories":[4],"tags":[58],"class_list":{"0":"post-2155","1":"post","2":"type-post","3":"status-publish","4":"format-standard","6":"category-mathematiques","7":"tag-geometrie"},"jetpack_featured_media_url":"","jetpack_sharing_enabled":true,"post_mailing_queue_ids":[],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/scienceetonnante.com\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/2155","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/scienceetonnante.com\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/scienceetonnante.com\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/scienceetonnante.com\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/scienceetonnante.com\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=2155"}],"version-history":[{"count":0,"href":"https:\/\/scienceetonnante.com\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/2155\/revisions"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/scienceetonnante.com\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=2155"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/scienceetonnante.com\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=2155"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/scienceetonnante.com\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=2155"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}