{"id":1833,"date":"2011-08-22T00:01:45","date_gmt":"2011-08-21T22:01:45","guid":{"rendered":"http:\/\/sciencetonnante.wordpress.com\/?p=1833"},"modified":"2011-08-22T00:01:45","modified_gmt":"2011-08-21T22:01:45","slug":"le-nombre-de-reynolds","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/scienceetonnante.com\/blog\/2011\/08\/22\/le-nombre-de-reynolds\/","title":{"rendered":"Le nombre de Reynolds"},"content":{"rendered":"

\"\"<\/a>Tous les liquides ne s’\u00e9coulent pas de la m\u00eame mani\u00e8re. Si vous observez l’eau d’un fleuve, vous pouvez voir que son \u00e9coulement est en permanence le si\u00e8ge de multiples tourbillons<\/strong>. Au contraire, l’huile qui s’\u00e9coule hors d’une bouteille ne tourbillonne pas du tout.<\/p>\n

\u00c9tonnamment, la fronti\u00e8re entre ces deux situations est assez mince, et on peut la percevoir au moyen d’une quantit\u00e9 appel\u00e9e nombre de Reynolds. Comme nous allons le voir, la compr\u00e9hension de la transition entre les deux comportements fait encore l’objet de recherches pointues [1].<\/p>\n

La turbulence<\/h3>\n

\"\"<\/a>Quand l’\u00e9coulement d’un liquide est le si\u00e8ge de multiples tourbillons, on dit que cet \u00e9coulement est turbulent<\/strong>. Au contraire si l’\u00e9coulement semble se faire de mani\u00e8re bien parall\u00e8le, on parle d’\u00e9coulement laminaire<\/strong>.<\/p>\n

Les \u00e9coulements turbulents se rep\u00e8rent particuli\u00e8rement au voisinage d’obstacles, par exemple les piles d’un pont. La diff\u00e9rence entre les deux situations est sch\u00e9matis\u00e9e sur la figure ci-contre : en haut l’\u00e9coulement laminaire, en bas l’\u00e9coulement turbulent.<\/p>\n

Ce qui fait la diff\u00e9rence, c’est que dans un \u00e9coulement turbulent, les petites perturbations donnent naissance \u00e0 des tourbillons<\/strong>. Au contraire dans un \u00e9coulement laminaire, les perturbations se r\u00e9sorbent rapidement et l’\u00e9coulement reprend son cours tranquille.<\/p>\n

Comment savoir \u00e0 l’avance si un \u00e9coulement va \u00eatre le si\u00e8ge de turbulence ? Cela d\u00e9pend principalement de la viscosit\u00e9 du liquide, <\/strong>car celle-ci agit comme un frottement qui va freiner les perturbations et emp\u00eacher les tourbillons d’appara\u00eetre. Mais \u00e0 quel moment la viscosit\u00e9 est-elle suffisante pour freiner l’apparition des tourbillons turbulents ?<\/p>\n

Une lutte entre viscosit\u00e9 et inertie<\/h3>\n

Pour savoir si la viscosit\u00e9 est assez forte pour freiner les tourbillons, il faut la comparer \u00e0 l’inertie de l’\u00e9coulement. La viscosit\u00e9 tend \u00e0 faire dispara\u00eetre les tourbillons, alors que l’inertie les propage. Pour comprendre cet affrontement entre viscosit\u00e9 et inertie, prenons l’analogie avec un skieur (au lyc\u00e9e, en m\u00e9ca, il y a tout le temps des skieurs).<\/p>\n

\"\"<\/a>Vous \u00eates un skieur et vous arrivez en bas d’une pente, \u00e0 un endroit o\u00f9 la piste devient plate. Quelle distance allez-vous parcourir sur le plat gr\u00e2ce \u00e0 votre \u00e9lan ? \u00c9videmment, \u00e7a d\u00e9pend : d’une part de la vitesse<\/strong> que vous avez acquise, et d’autre part de l’intensit\u00e9 des frottements<\/strong> qui vont vous freiner. Il s’agit d’une lutte entre votre inertie accumul\u00e9e et les frottements de la neige.<\/p>\n

Pour quantifier votre inertie, on peut regarder votre \u00e9nergie cin\u00e9tique, qui vaut comme vous le savez \\((1\/2) m v^2\\). Pour les frottements, on peut les exprimer sous la forme d’une force proportionnelle \u00e0 votre vitesse, par exemple \\(k.v\\) o\u00f9 \\(k\\) est un coefficient de frottement.<\/p>\n

Si vous faite le rapport des deux, vous obtenez \\(mv\/k\\), qui est une quantit\u00e9 qui vous donne en gros la distance que vous allez parcourir gr\u00e2ce \u00e0 votre \u00e9lan. Si vous \u00eates lourd, rapide et que la neige glisse bien, vous irez plus loin que si vous \u00eates l\u00e9ger, lent et que la neige est de la soupe.<\/p>\n

Le nombre de Reynolds<\/h3>\n

Retournons \u00e0 notre liquide, et appliquons lui un raisonnement analogue au skieur. Imaginons que le liquide s’\u00e9coule \u00e0 une vitesse moyenne v, dans un tube de diam\u00e8tre D. Si \\(\\rho\\) est la masse volumique du fluide, l’\u00e9nergie cin\u00e9tique du fluide est en gros proportionnelle \u00e0 \\(\\rho v^2\\).<\/p>\n

Pour la viscosit\u00e9, elle fonctionne presque comme les frottements du skieur. Pour faire simple, on peut dire que la viscosit\u00e9 est ce qui fait que le liquide a tendance \u00e0 coller \u00e0 la paroi du tube<\/strong>. Les forces de viscosit\u00e9 sont d’autant plus importantes que la viscosit\u00e9 \\(\\mu\\) du liquide est \u00e9lev\u00e9e, que sa vitesse v est importante, et que le diam\u00e8tre \\(D\\) du tube est petit. Au final, l’\u00e9nergie dissip\u00e9e par les forces de viscosit\u00e9 est proportionnelle \u00e0 la quantit\u00e9 \\(\\mu v \/D\\)<\/p>\n

Pour calculer le ratio inertie\/frottement dans le liquide, on fait le rapport des deux formules que je viens de d\u00e9tailler, et on obtient cette quantit\u00e9 appel\u00e9e le nombre de Reynolds de l’\u00e9coulement<\/strong><\/p>\n

\\(Re = \\frac{\\rho v D}{\\mu}\\)<\/p>\n

Ce nombre va nous permettre de d\u00e9tecter l’apparition de la turbulence : plus il est \u00e9lev\u00e9, plus l’inertie est importante et la viscosit\u00e9 faible, et plus les tourbillons pourront se d\u00e9velopper.<\/p>\n

Quelques valeurs du nombre de Reynolds<\/h3>\n

Il faut faire deux observations importantes sur le nombre de Reynolds. La premi\u00e8re est qu’il n’a pas d’unit\u00e9. C’est en effet le rapport de deux quantit\u00e9s qui sont des \u00e9nergies volumiques, et le r\u00e9sultat est donc un nombre sans dimension<\/strong>.<\/p>\n

\"\"<\/a>La deuxi\u00e8me observation est qu’il ne d\u00e9pend pas uniquement du liquide que l’on consid\u00e8re : il n’y a pas de sens \u00e0 parler du nombre de Reynolds \u00ab\u00a0de l’eau\u00a0\u00bb, puisque cela d\u00e9pend des caract\u00e9ristiques de l’\u00e9coulement (vitesse et diam\u00e8tre du tube).<\/p>\n

Reprenons les deux situations dont je parlais au d\u00e9part : l’\u00e9coulement d’un fleuve et de l’huile d’une bouteille. Il ne s’agit pas vraiment d’\u00e9coulements dans un tube, mais on va faire comme si.<\/p>\n

Le tableau ci-contre montre le calcul du nombre de Reynolds dans les deux situations. Vous pouvez constater qu’il est 100 millions de fois plus \u00e9lev\u00e9 dans le fleuve que dans la bouteille d’huile<\/strong> !<\/p>\n

Pas \u00e9tonnant que les tourbillons aient bien plus de chance de se d\u00e9velopper dans le fleuve que dans la bouteille d’huile !<\/p>\n

Une transition brutale<\/h3>\n

Bien que le nombre de Reynolds puisse varier de mani\u00e8re \u00e9norme d’un \u00e9coulement \u00e0 l’autre, la fronti\u00e8re est entre l’\u00e9coulement laminaire et l’\u00e9coulement turbulent est en fait assez mince. On estime qu’un \u00e9coulement devient turbulent pour un nombre de Reynolds sup\u00e9rieur \u00e0 2000<\/strong>.<\/p>\n

Ce nombre de Reynolds critique<\/strong> correspond en gros au moment o\u00f9 les forces visqueuses ne sont plus suffisamment fortes pour r\u00e9sorber les tourbillons. Comme vous pouvez vous en douter, la compr\u00e9hension de cette limite entre turbulent et laminaire est d’une grande importance pour beaucoup d’applications technologiques, comme en ing\u00e9nierie des proc\u00e9d\u00e9s ou en a\u00e9ronautique.<\/p>\n

Une d\u00e9termination pr\u00e9cise du nombre de Reynolds critique<\/h3>\n

La valeur que j’ai donn\u00e9e pour le nombre de Reynolds critique est en fait une approximation obtenue exp\u00e9rimentalement. Mais il est assez difficile de r\u00e9aliser des \u00e9coulements dont la vitesse et la viscosit\u00e9 soient si bien contr\u00f4l\u00e9s qu’on puisse observer avec pr\u00e9cision la transition entre l’\u00e9coulement laminaire et l’\u00e9coulement turbulent.<\/p>\n

Dans un article r\u00e9cent paru dans Science<\/em> [1], des chercheurs ont r\u00e9alis\u00e9 une exp\u00e9rience tr\u00e8s d\u00e9licate pour d\u00e9terminer avec pr\u00e9cision ce moment critique o\u00f9 les perturbations deviennent des tourbillons qui subsistent au lieu de se r\u00e9sorber.<\/p>\n

Pour cela ils ont cr\u00e9\u00e9 un \u00e9coulement d’eau dans un tube de 4mm de diam\u00e8tre et 15 m\u00e8tres de long, \u00e0 des vitesses autour de 0.5 m\/s. Comme vous pouvez le v\u00e9rifier, cela correspond justement \u00e0 un nombre de Reynolds autour de 2000. Ils ont ensuite fait varier tr\u00e8s l\u00e9g\u00e8rement la vitesse, et ont cr\u00e9\u00e9 artificiellement des petites perturbations.<\/p>\n

En observant l’amplification et la d\u00e9croissance des perturbations, ils ont pu proposer une valeur pr\u00e9cise pour le nombre de Reynolds critique, s\u00e9parant le cas laminaire du cas turbulent : 2040<\/strong>. Ils sont m\u00eame all\u00e9s plus loin en \u00e9tudiant pr\u00e9cis\u00e9ment la mani\u00e8re dont les perturbations se d\u00e9veloppent, se propagent, voire se scindent. Les curieux peuvent aller voir l’article !<\/p>\n

[1] A. Kavila et al., The Onset of Turbulence in Pipe Flow, Science 333, n\u00b06039, p.192 (2011)<\/em><\/p>\n

Billets reli\u00e9s :<\/span><\/p>\n

L’\u00e9trange viscosit\u00e9 des fluides non-newtoniens<\/a><\/p>\n

Ce qu’il se passe pour les tous petits nageurs, qui ont un nombre de Reynolds tr\u00e8s bas, traduit chez Dr. Goulu<\/a>.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

Tous les liquides ne s’\u00e9coulent pas de la m\u00eame mani\u00e8re. Si vous observez l’eau d’un fleuve, vous pouvez voir que son \u00e9coulement est en permanence le si\u00e8ge de multiples tourbillons. Au contraire, l’huile qui s’\u00e9coule hors d’une bouteille ne tourbillonne pas du tout. \u00c9tonnamment, la fronti\u00e8re entre ces deux situations est assez mince, et on<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"jetpack_post_was_ever_published":false,"_jetpack_newsletter_access":"","_jetpack_dont_email_post_to_subs":false,"_jetpack_newsletter_tier_id":0,"_jetpack_memberships_contains_paywalled_content":false,"_jetpack_memberships_contains_paid_content":false,"footnotes":""},"categories":[6],"tags":[24],"class_list":{"0":"post-1833","1":"post","2":"type-post","3":"status-publish","4":"format-standard","6":"category-physique","7":"tag-mecanique-des-fluides"},"jetpack_featured_media_url":"","jetpack_sharing_enabled":true,"post_mailing_queue_ids":[],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/scienceetonnante.com\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/1833","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/scienceetonnante.com\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/scienceetonnante.com\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/scienceetonnante.com\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/scienceetonnante.com\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=1833"}],"version-history":[{"count":0,"href":"https:\/\/scienceetonnante.com\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/1833\/revisions"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/scienceetonnante.com\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=1833"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/scienceetonnante.com\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=1833"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/scienceetonnante.com\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=1833"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}