![\"\"](\"https:\/\/scienceetonnante.com\/blog\/wp-content\/uploads\/2011\/06\/syracuse-university-1.jpg?w=300\" "\\"Syracuse-University\\"")
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La conjecture de Syracuse est un merveilleux probl\u00e8me d’arithm\u00e9tique : un enfant de 8 ans peut le comprendre, les ordinateurs l’ont v\u00e9rifi\u00e9e jusqu’\u00e0 des nombres astronomiques, et pourtant les math\u00e9maticiens n’ont toujours pas r\u00e9ussi \u00e0 la d\u00e9montrer ou \u00e0 l’infirmer.<\/p>\n
Il y a quelques jours, une pr\u00e9publication a annonc\u00e9 sa d\u00e9monstration…avant de se r\u00e9tracter apr\u00e8s la d\u00e9couverte d’une faille dans un point du raisonnement.<\/p>\n
Syracuse, un bastion proche de tomber ? Voyons cela de plus pr\u00e8s !<\/p>\n
Prenez un nombre entier positif, et appliquez lui le traitement suivant :<\/p>\n
Vous obtenez alors un nouveau nombre, sur lequel vous r\u00e9p\u00e9tez la proc\u00e9dure. Et ainsi de suite, pour fabriquer une s\u00e9quence de nombres.<\/p>\n
Mettons que je parte du nombre 7, voici la s\u00e9quence que j’obtiens :<\/p>\n
7,22,11,34,17,52,26,13,40,20,10,5,16,8,4,2,1,4,2,1,4,2,1,…<\/span><\/p>\n Vous remarquez qu’\u00e0 la fin, une fois qu’on est tomb\u00e9 sur 1, la suite finit par r\u00e9p\u00e9ter ind\u00e9finiment le cycle 4,2,1<\/em>. Si vous essayez vous-m\u00eame avec d’autres nombres, vous allez voir que l’on finit toujours \u00e0 1.\u00a0Vous voulez faire le test ? Si vous partez de nombres pas trop \u00e9lev\u00e9s, \u00e7a se fait presque de t\u00eate. Si vous \u00eates fain\u00e9ant, vous pouvez aller sur\u00a0ce site<\/a>.<\/p>\n La conjecture de Syracuse s’\u00e9nonce ainsi : quel que soit le nombre que l’on choisisse au d\u00e9part, on finira par tomber sur 1<\/strong>.<\/p>\n Contrairement \u00e0 ce que peut laisser supposer le parfum archim\u00e9dien de son nom, cette conjecture est relativement r\u00e9cente puisqu’elle a \u00e9t\u00e9 popularis\u00e9e par le math\u00e9maticien allemand Lothar Collatz (ci-dessous) aux environ de 1937. C’est \u00e0 la suite d’un expos\u00e9 \u00e0 l’Universit\u00e9 de Syracuse \u00e0 New York qu’elle a acquis son surnom le plus connu.<\/p>\n Si vous \u00eates courageux, vous pouvez essayer de prendre des nombres au hasard, et construire la suite de Syracuse pour voir si vous tombez sur une de ces deux situations. Petit indice : la conjecture a d\u00e9j\u00e0 \u00e9t\u00e9 v\u00e9rifi\u00e9e num\u00e9riquement jusqu’\u00e0 10^20<\/strong> (par Tomas Oliveira e Silva<\/a>), alors essayez de choisir un nombre de d\u00e9part plus grand que \u00e7a !<\/p>\n Si l’id\u00e9e de chercher un contre-exemple vous fatigue, vous pouvez chercher une d\u00e9monstration. Il suffit de prouver 1) qu’on ne diverge jamais \u00e0 l’infini, et 2)qu’il n’existe aucun autre cycle que le cycle trivial. Voyons ces \u00e9ventualit\u00e9s.<\/p>\n Pour se convaincre qu’une divergence \u00e0 l’infini est peu probable, on peut avoir recours \u00e0 un argument probabiliste. Pour cela, il suffit d’observer que quand on a un nombre impair, et qu’on le multiplie par 3 en ajoutant 1, on tombe n\u00e9cessairement sur un nombre pair. On peut donc directement le diviser par 2. Ceci donne naissance \u00e0 la forme comprim\u00e9e<\/strong> de la proc\u00e9dure :<\/p>\n Autre \u00e9tape n\u00e9cessaire pour d\u00e9montrer la conjecture de Syracuse : prouver qu’il n’existe pas d’autre cycle que le cycle trivial<\/strong> 4,2,1. L\u00e0 aussi vous pouvez vous amuser \u00e0 en chercher un \u00e0 la main, mais soyez ambitieux. En effet puisque la conjecture est v\u00e9rifi\u00e9e num\u00e9riquement jusqu’\u00e0 10^20, un tel cycle ne peut contenir que des nombres sup\u00e9rieurs \u00e0 cette valeur. Cette limite implique \u00a0m\u00eame que s’il existe un tel cycle, il est constitu\u00e9 de plus de 17 milliards d’\u00e9l\u00e9ments. Bon courage !<\/p>\n Bien s\u00fbr il y a aussi le cycle qui ne contient que 0. Mais\u00a0comme les matheux sont curieux, ils sont all\u00e9s faire un tour du c\u00f4t\u00e9 des nombres n\u00e9gatifs. Si vous vous autorisez les nombres n\u00e9gatifs comme point de d\u00e9part, il existe en effet quelques cycles. En fait il y en a 3, qui partent respectivement de -2, -5 et -17. On suppose qu’il n’en existe pas d’autres, mais on ne sait pas non plus le d\u00e9montrer !<\/p>\n Comme je vous le disais au d\u00e9but de ce billet, un math\u00e9maticien de l’Universit\u00e9 de Hambourg, Gerhard Opfer<\/strong>, a r\u00e9cemment post\u00e9 une pr\u00e9publication(*) annon\u00e7ant la d\u00e9monstration de la conjecture de Syracuse. Le gars a l’air s\u00e9rieux, il est d’ailleurs un ancien \u00e9tudiant de L. Collatz lui-m\u00eame (cf le Math Genealogy Project<\/a>).<\/p>\n En survolant le papier, on remarque deux choses surprenantes. D’une part la d\u00e9monstration est assez courte, quelques pages, c’est plut\u00f4t inattendu. D’autre part elle semble ne faire appel qu’\u00e0 des notions de math\u00e9matiques plut\u00f4t simples (alg\u00e8bre lin\u00e9aire, fonctions complexes), sans avoir besoin d’invoquer la tour de Teichm\u00fcller ou les formes modulaires semi-stables sur le groupe de Galois absolu d’une cl\u00f4ture s\u00e9parable. On a presque envie de penser que si on lisait le papier, on pourrait comprendre.<\/p>\n Malheureusement, Mesdames et Messieurs, comme souvent dans ce genre d’annonces, il y semble qu’il y ait une faille dans sa d\u00e9monstration. Opfer vient d’ajouter la page suivante \u00e0 son papier :<\/p>\n Les curieux peuvent aller lire le papier, puis aller l\u00e0<\/a>\u00a0pour une discussion de la faille. On peut tout de m\u00eame r\u00eaver que la faille soit curable, ou tout au moins que la tentative de G. Opfer soit \u00e0 l’origine de nouveaux essais, dont un finira bien par fonctionner ! Sauf si, comme le pense le c\u00e9l\u00e8bre math\u00e9maticien Paul Erd\u00f6s \u00e0 propos de la conjecture de Syracuse<\/p>\nPeut-on finir ailleurs qu’\u00e0 1 ?<\/h3>\n
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<\/a>Si la conjecture de Syracuse est vraie, quel que soit le nombre initial on doit tomber sur le cycle 4,2,1, appel\u00e9 cycle trivial<\/strong>. Pour qu’elle soit fausse, il suffit de trouver un contre-exemple. On peut facilement se convaincre que s’il existe un contre-exemple, il correspond n\u00e9cessairement \u00e0 l’une de ces deux situations :<\/p>\n\n
Un argument probabiliste<\/h3>\n
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Quel est l’int\u00e9r\u00eat de cette forme comprim\u00e9e ? Que le nombre N soit pair ou impair, le nombre sur lequel on tombe sera \u00e0 50% de probabilit\u00e9 pair, et \u00e0 50% de probabilit\u00e9 impair. Apr\u00e8s K op\u00e9rations, le nombre initial a en moyenne \u00e9t\u00e9 multipli\u00e9 K\/2 fois par (1\/2) et K\/2 fois par en gros (3\/2). Donc apr\u00e8s K op\u00e9rations, le nombre initial a en moyenne \u00e9t\u00e9 multipli\u00e9 par<\/div>\n\\(\\left(\\frac{3}{4}\\right)^{K\/2}\\)<\/div>\nPuisque 3\/4<1, on voit quand it\u00e9rant les op\u00e9rations \u00e0 l’infini, on doit en moyenne toujours d\u00e9croitre. Bien s\u00fbr cet argument probabiliste n’est pas une d\u00e9monstration, puisqu’il suppose qu’on tombe bien \u00e0 chaque fois \u00e0 50% de chance sur un nombre pair ou sur un nombre impair. C’est vrai en moyenne, mais pas pour chaque suite prise individuellement. Donc ce raisonnement montre qu’un contre-exemple allant \u00e0 l’infini est assez improbable, mais il peut tr\u00e8s bien exister !<\/div>\nA la recherche du cycle non-trivial ?<\/h3>\n
Alors va-t-on y arriver un jour ?<\/h3>\n
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<\/a><\/p>\n