De temps en temps, en maths, il y a des bizarreries qui peuvent nous faire des noeuds aux neurones. Parmi mes préférées, il y a le nombre 0.999999…, où les 3 petits points désignent le fait que la suite de chiffres « 9 » se poursuit à l’infini. Voyons un peu ce nombre paradoxal.
(image Wikipédia)
Dans ce billet nous allons voir en quoi l’existence de la musique occidentale repose sur le fait que 3 puissance 12 est (presque) égal à 2 puissance 19 ! Et pour cela, construisons un piano !
Le principe est simple : on va partir d’une première corde, dont la vibration produit une certaine note, et on va chercher successivement à construire les autres cordes du piano. Notre critère étant d’introduire de nouvelles cordes dont les sons « vont bien » avec ceux des cordes que l’on possède déjà.
Et voyons où cela nous mène !
Pourquoi la coopération existe-t-elle ? Comment se fait-il que la plupart des hommes et certains animaux coopèrent entre eux, alors que la nature semble favoriser les comportements individualistes et égoïstes.
En 1981, pour essayer de répondre à cette question, un professeur en sciences politiques et un spécialiste en zoologie ont écrit un des papiers les plus étonnants qu’il m’ait été donné de lire.
On a souvent tendance à penser qu’il a fallu attendre la Renaissance pour que l’humanité découvre que la Terre n’était pas plate. C’est une fausse croyance, car l’idée que la Terre soit ronde date de l’Antiquité, et était partagée par de nombreux savants comme Platon ou Aristote.
D’ailleurs en 200 avant J.C., Eratosthène a même réussi l’exploit de calculer la circonférence de la Terre à quelques centaines de kilomètres près, puisqu’il l’estima à 39 375 km, alors que la valeur actuellement admise est autour de 40 070 km !
Voyons ensemble comment il a procédé.
La conjecture de Syracuse est un merveilleux problème d’arithmétique : un enfant de 8 ans peut le comprendre, les ordinateurs l’ont vérifiée jusqu’à des nombres astronomiques, et pourtant les mathématiciens n’ont toujours pas réussi à la démontrer ou à l’infirmer.
Il y a quelques jours, une prépublication a annoncé sa démonstration…avant de se rétracter après la découverte d’une faille dans un point du raisonnement.
Syracuse, un bastion proche de tomber ? Voyons cela de plus près !
Prenez un nombre entier positif, et appliquez lui le traitement suivant :
Vous obtenez alors un nouveau nombre, sur lequel vous répétez la procédure. Et ainsi de suite, pour fabriquer une séquence de nombres.
Il y a quelques jours le prix 2011 du « Meilleur jeune économiste français » a été décerné à Xavier Gabaix, qui travaille et enseigne à l’Université de New-York. En collaboration avec des physiciens, il s’est notamment penché sur la question des fluctuations des marchés financiers, et a proposé un modèle pour tenter d’expliquer l’universalité de ces fluctuations.
On le sait bien, les marchés financiers fluctuent, et ce de manière apparemment imprévisible. Mais en analysant un historique de ces fluctuations, on peut observer des choses intéressantes, notamment mesurer la probabilité d’apparition des évènements extrêmes que sont les fortes hausses ou fortes baisses.
Prenons notre bon vieux CAC40, et regardons son historique depuis une vingtaine d’années (ci-contre). On va s’intéresser à ses fluctuations d’un jour sur l’autre, exprimées en pourcentage. Vous savez ce chiffre que nous annonce le présentateur à la fin du journal télé « La bourse de Paris a clôturé en baisse de 2.12% ».
En principe, notre ADN sait beaucoup de choses sur nous. Mais il n’est pas si simple de faire parler la quantité immense d’information qu’il contient. En 2008, des chercheurs ont réussi à montrer qu’il est possible de lire nos origines géographiques dans nos gènes, moyennant une méthode statistique adaptée : l’analyse en composantes principales.
Pour faire parler nos gènes, il y a deux difficultés à surmonter : transcrire les informations contenues dans notre ADN en données numériques, puis trouver les bonnes méthodes statistiques qui permettent d’exploiter ces données.
Pour réaliser leur étude publiée dans Nature [1], John Novembre et ses collaborateurs sont partis d’une population de 3192 individus européens dont ils ont réalisé un génotypage. Mais qu’est-ce que cela signifie, génotyper ?
Le problème de Monty Hall est un célèbre jeu de probabilités qui tire son nom d’une émission télévisée. On le qualifie de paradoxe, car la bonne stratégie à adopter nous semble souvent contre-intuitive.
Des expériences montrent d’ailleurs que même en répétant plusieurs fois le jeu, l’être humain a vraiment du mal à comprendre le truc, alors que le pigeon, lui, s’en sort très bien.
De là à conclure à la supériorité intellectuelle des volatiles, il n’y a qu’un pas !
Le paradoxe de Monty Hall trouve son origine dans le jeu télévisé Let’s Make a Deal, diffusé aux Etats-Unis à partir de 1963. L’animateur Monty Hall y proposait le choix suivant.
Un candidat est présenté face à 3 portes : derrière une seule de ces portes se trouve un cadeau, alors que derrière chacune des deux autres portes se trouve un objet sans intérêt (typiquement : une chèvre).
Que doit faire le candidat ? Conserver ou changer ?
Réfléchissez donc 5 minutes…
La fourmi de Langton est un petit programme informatique qui décrit une fourmi se déplaçant sur les cases d’une grille. Les règles qui régissent le mouvement de la fourmi sont d’une grande simplicité, et pourtant son comportement est complexe et tout sauf anodin. Et personne ne comprend vraiment pourquoi…
Pour jouer à la fourmi de Langton (du nom de son créateur Chris Langton) il vous faut une feuille quadrillée, un crayon et une gomme. Au départ les cases de la grille peuvent être blanches ou noires, mais supposons pour commencer qu’elles sont toutes blanches. Mettez une petite flèche dans une des cases : ce sera votre fourmi, et l’orientation de la flèche indiquera sa direction.
A chaque tour, la fourmi se déplace selon les règles suivantes :
Et on recommence. Facile, non ?
La théorie de la gravitation de Newton ayant plus de 300 ans, on peut légitimement penser qu’il n’y a plus grand-chose d’étonnant à y trouver. Et pourtant une construction publiée en 1992 nous réserve une drôle de surprise : il est possible d’envoyer des particules à l’infini en un temps fini !
La gravitation universelle semble une théorie relativement simple, en tout cas du point de vue des équations qui la décrivent. Et pourtant dès que plus de 2 corps interagissent selon les lois de Newton, la résolution des équations du mouvement devient la plupart du temps impossible de manière exacte : c’est ce qu’on appelle le problème à N corps.
Au cours de sa thèse à la fin des années 90, Jeff Xia a pu donner une réponse positive à une question ouverte depuis longtemps : il existe des situations où des corps en interaction newtonienne peuvent atteindre l’infini en un temps fini. Il a notamment montré explicitement que cela pouvait se produire avec un système de 5 particules en interaction.
La démonstration de ce résultat étonnant semble extrêmement ardue, mais on peut ici esquisser les grands principes de la construction.