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David Louapre

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digits

Aujourd’hui je voudrais vous parler d’une construction mathématique très jolie et injustement méconnue : les fractions continues.

Vous allez voir que les fractions continues sont à la fois simples, amusantes, belles et utiles !

Que demander de plus ?

Pi, ça vaut combien en gros ?

Même si vous n’êtes pas un super-geek, il est vraisemblable que vous connaissiez au moins les quelques premières décimales du nombre $latex \pi$. L’écriture décimale d’un nombre comme $latex \pi$, c’est un truc pratique mais forcément imparfait. En effet quel que soit le nombre de décimales qu’on choisisse de mettre, il ne s’agira que d’une approximation, qui n’est jamais exactement égale au véritable $latex \pi$, par exemple

$latex \pi = 3.14159265358979323846264338327950288419716939937510582…&s=1$

Les fractions continues, c’est une autre manière de représenter et d’approximer des nombres réels, une alternative à l’écriture décimale.

402px-NagasakibombIl y a 3 jours, on célébrait le 70e anniversaire du bombardement atomique américain sur la ville japonaise d’Hiroshima.

Pour les responsables de l’époque, cette mortelle démonstration de la puissance nucléaire se justifiait officiellement par le besoin de mettre un terme rapide à cette guerre qui sévissait toujours entre les États-Unis et l’Empire du Soleil Levant (près de 3 mois après « notre » 8 mai.)

Mais il est aussi vraisemblable qu’un des objectifs cachés de ce bombardement ait été de montrer les muscles face à l’Union Soviétique, aux heures où l’affrontement larvé des deux superpuissances pointait déjà largement le bout de son nez. D’ailleurs certains analystes estiment a posteriori que c’est en partie grâce à Hiroshima et à son rôle d’épouvantail que personne n’a finalement appuyé sur le bouton rouge, et que la Guerre froide n’a pas dégénéré en apocalypse nucléaire total.

A l’opposé de ces justifications militaires, beaucoup considèrent que le bombardement d’Hiroshima et ses presque 100 000 civils assassinés en quelques minutes constitue tout simplement le crime de guerre le plus abominable de l’histoire de l’humanité.

Et pourtant quel que soit le point de vue ou l’opinion que l’on adopte, on est obligé de reconnaître qu’il existe un acte encore plus injustifiable que le bombardement atomique d’Hiroshima : celui de Nagasaki qui eu lieu 3 jours plus tard le 9 août 1945, il y a 70 ans aujourd’hui.

Une nouvelle vidéo, sur un thème déjà abordé ici. Mais avec les images c’est quand même beaucoup mieux ! http://www.youtube.com/watch?v=QDlNRq9yQKo (PS pour les physico-chimistes : la question de l’ingrédient magique commun aux liquides vaisselles qui marchent — tous de chez P&G — est toujours ouverte) Ce sera la dernière vidéo avant les vacances. Cet été je déménage, alors je ne sais pas si j’aurai beaucoup le temps d’écrire sur le blog, mais j’essayerai peut-être quand…

Andromeda_galaxy_720Cela fait un moment que je vous dois le troisième (et probablement dernier) épisode de ma série consacrée aux bases théoriques de la cosmologie. Nous allons donc parler de la constante cosmologique, c’est-à-dire de l’expansion accélérée de l’Univers et de la fameuse « énergie noire » : un thème que j’avais déjà abordé dans une vidéo il y a quelques semaines. Mais comme par écrit je peux me permettre de prendre mon temps, je vais en profiter pour apporter pas mal de détails et quelques nuances.

Commençons donc par faire un rapide résumé des épisodes précédents. Si ça n’est pas déjà fait, je vous invite à aller les relire ici (partie 1 : le Big-Bang) et là (partie 2 : forme et destin de l’Univers). Mais comme je sais que vous n’allez pas le faire, je vais y aller tranquillement pour rappeler les bases !

La vidéo de cette semaine est un « hors-série » où je raconte ma vie. Pour ceux qui ont la flemme de regarder et qui préfèrent lire, en gros : Je déménage cet été, je reviens de Boston et m’installe à Paris. L’été sera donc calme côté « vulgarisation », je m’y remets en septembre ! Je me suis inscrit sur le site de financement participatif Tipeee. Si vous le souhaitez, vous pouvez soutenir le blog et la chaîne…

Ma nouvelle vidéo vous parle de la plus grosse erreur de prédiction de toute l’histoire de la physique : le calcul de l’énergie du vide. http://www.youtube.com/watch?v=EmfvKXO5DZk Ceux qui connaissent l’histoire remarqueront que j’évite soigneusement d’employer le terme d’énergie noire ou d’énergie sombre, que je n’aime pas du tout. Ce terme est parfois utilisé pour désigner la constante cosmologique, de manière un peu analogue à la matière noire, mais à mon sens les deux sont suffisamment…

Ma vidéo du week-end traite des codes secrets et de la cryptographie RSA. Si j’en crois les chiffres, ça passionne plus les foules que la biologie cellulaire d’il y a deux semaines !

http://www.youtube.com/watch?v=8BM9LPDjOw0

Un sujet connexe que j’ai hésité à aborder dans la vidéo concerne les techniques de décryptage par Markov Chain Monte Carlo (MCMC pour les intimes) que j’ai un peu découvertes en lisant un excellent papier intitulé The Markov Chain Monte Carlo revolution (P. Diaconis, Bulletin of the American Mathematical Society 46.2 (2009): 179-205.). Les MCMC sont des algorithmes assez génériques aujourd’hui utilisés un peu partout de la physique statistique jusqu’aux problèmes de génétique des populations ou de linguistique (par exemple mon billet sur l’origine des langues indo-européennes)

640px-Milky_Way_Arch

Après une petite interruption, je continue ma série de billets consacrés aux bases théoriques de la cosmologie.

Résumé de l’épisode précédent : Si vous avez lu mon premier billet sur le Big-Bang, vous savez déjà que l’équation d’Einstein appliquée au cas d’un Univers isotrope et homogène se réduit à une équation différentielle assez simple, l’équation de Friedmann.

$latex \left(\frac{da}{dt}\right)^2=\frac{8\pi G\rho_0}{3}\frac{1}{a(t)}&s=3&fg=007700$

Cette équation permet en particulier de décrire le fait que l’Univers est en expansion, ce que l’on constate en observant les galaxies s’éloigner de nous. Grâce aux mesures expérimentales de son taux d’expansion actuel, il est possible de rembobiner l’équation de Friedman pour reconstituer la jeunesse de l’Univers. Et c’est ainsi qu’on en arrive à l’idée du Big Bang, cette période dense et chaude où l’Univers était extraordinairement courbé.

Aujourd’hui nous allons nous intéresser non pas au passé mais à l’avenir de notre Univers, et voir en quoi son destin est irrémédiablement lié à sa forme. Et pour ça, il faut d’abord vous avouer que je vous ai menti sur l’équation de Friedmann. La version que je vous ai donnée est en réalité incomplète, et voici pourquoi.

Ma dernière vidéo sur la chaîne traite des cellules souches induites et de leur découverte par le prix Nobel japonais Shinya Yamanaka. On a dépassé les 5000 abonnés sur la chaîne, un grand merci à tous ! http://www.youtube.com/watch?v=KQ0IVVQRw9E Comme il faut bien que ça arrive de temps en temps, j’ai dit une bêtise dans cette vidéo : j’y parle de l’ADN des globules rouges, alors que chez l’homme ces derniers n’en ont pas ! Bon…