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C’est un grand classique, mais après ce que je vous ai infligé la semaine dernière, je me suis dit qu’un peu de repos ne ferait de mal à personne !

Donc nous allons démontrer que tous les triangles sont équilatéraux. Rien que ça !

Et puisqu’on démontre que tous les triangles sont équilatéraux, il s’ensuit que 1+1=3, que les maths sont contradictoires, que Gödel l’avait prédit et que je suis le pape.

La démonstration

Prenons un brave triangle ABC, et considérons deux éléments de ce triangle:

  • La médiatrice du côté BC, c’est à dire la perpendiculaire qui sépare le segment BC en deux parties de même longueur;
  • La bissectrice de l’angle A, c’est-à-dire la droite qui sépare l’angle A en deux angles égaux.

Le schéma ci-dessous montre ces deux éléments. Je vais noter P leur point d’intersection et D le milieu du segment BC.

triangles1Notez que sur le schéma, j’ai fait figurer avec les petits symboles habituels que BD = DC et que l’angle A est coupé en deux angles égaux.

Je considère maintenant les perpendiculaires à AB et AC qui passent par P. J’appelle E et F les points selon le schéma ci-dessous.

triangles2Je vais me concentrer sur les deux triangles représentés en rouge ci-dessus : AEP et AFP. Ce sont tous les deux des triangles rectangles (par construction), et qui ont un autre angle identique, l’angle au sommet qui est la moitié de l’angle A (rappelez-vous, AP est la bissectrice). Les deux triangles rouges ont donc leur trois angles identiques, et comme ils ont une hypoténuse commune, ils sont égaux ! En particulier AE = AF et PE=PF, je fais figurer cela sur le schéma ci-dessous.

 

triangles3

Maintenant je relie P à B et C, et je considère les deux triangles en jaune : PBD et PCD. Ce sont tous les deux des triangles rectangles, et ils ont deux côtés identiques : PD qui leur est commun, et BD=CD (rappelez vous que DP est la médiatrice au segment BC.) Par le théorème de Pythagore, on peut conclure que les deux triangles sont identiques. En particulier PB=PC, que je fais figurer sur le schéma.

triangles4Considérons maintenant les triangles bleus ci-dessus PEB et PFC. Encore une fois ce sont des triangles rectangles (par construction des points E et F), et qui en vertu des étapes précédentes ont deux côtés communs PE=PF et PB=PC. Donc à nouveau (par exemple par Pythagore), ces triangles sont identiques, et en particulier BE=CF.

Nous venons à l’instant de démontrer que BE=CF et on avait précédemment EA = FA, donc on conclut que AB=AC. Donc le triangle ABC est isocèle. Et comme la démonstration que l’on vient de faire a été appliquée à l’angle A mais qu’on aurait pu tout autant l’appliquer en B ou en C, il est aussi équilatéral. Donc tous les triangles sont équilatéraux. CQFD.

(Et puisque demain c’est le 1er avril, je laisse au lecteur en exercice le soin de démontrer que je suis le pape.)

Règle du jeu :

  • Si vous ne connaissez pas le truc, vous avez le droit de proposer votre solution en commentaire;
  • Si vous connaissez le truc, laissez chercher les autres ! (Si vous donnez quand même la réponse en commentaire vous perdez 3 points de karma)
  • Si vous ne connaissez pas le truc, que vous le cherchez sur Internet, et que vous postez la solution en faisant croire que vous l’avez trouvé tout seul, vous perdez DIX (10) points de karma !

Spéciale dédicace à mon papa, qui m’avait parlé le premier de cette démonstration, il y a bien longtemps !

(Edit du 31/03 : Finalement j’ai viré les préliminaires : c’était faux — merci aux commentateurs — et finalement plutôt inutile…)


Edit du 04 Avril : La solution !

Comme de nombreuses personnes l’ont remarqué en commentaire…il y a un problème avec le dessin ! Le point P devrait être à l’extérieur du triangle. Et voici la clé de l’énigme !

Ce qui fait pour moi tout l’intérêt de cette « fausse » démonstration, c’est qu’elle est en fait complètement correcte du début à la fin…sauf au tout dernier moment. Là où cela paraît le plus simple et le moins suspect !

Toutes les égalités démontrées ici sont vraies, et les triangles « identiques » le sont réellement. Là où l’on triche, c’est à la toute fin, quand de EB=FC et AE=AF (qui est correct) on déduit AE+EB= AF+FC (qui est correct) et donc AB=AC (qui est faux en général !). Si P est à l’extérieur, E (ou F) ne sera pas dans le segment AB (ou AC) et on n’a pas le droit d’additionner les longueurs de cette manière ! Donc si le dessin est mal fait, on se laisse avoir !

Ci-dessous un dessin fait correctement. J’ai pris un triangle clairement pas isocèle, et j’ai conservé les mêmes couleurs pour les triangles considérés (qui, je le répète, sont bien « identiques »). Comme ces triangles sont parfois superposés (contrairement à mon mauvais dessin initial) j’ai essayé de rendre en mélangeant les couleurs :

solution

Les deux triangles rouges sont identiques, les deux bleus sont identiques, les deux jaunes sont identiques.

Une question que l’on peut se poser, c’est comment démontrer que P est toujours à l’extérieur ? Dans les commentaires, Nicolas a proposé une solution basée sur le théorème suivant, qui affirme que le point M où la bissectrice intersecte BC vérifie MB/MC = AB/AC. Comme me le faisait remarquer une lectrice (merci Marie !) une autre manière de le démontrer, c’est par l’absurde, en utilisant la démonstration de ce billet ! Si le point P est à l’intérieur, alors on aboutit à une contradiction…donc le point P est à l’extérieur !

Bravo à tous ceux qui ont trouvé la solution par eux-mêmes, ou qui s’en sont approchés !

Billets reliés

La plus belle démonstration du théorème de Pythagore

Crédits

Triangle, runmonty Flicker/CC

Schémas : Science étonnante